In diesem Video wollen wir uns noch einmal mit dem zentralen Begriff der kompakten Mengen

beschäftigen und es stellt sich heraus, dass die Kompaktheit eines Raumes eigentlich eine

Fallgemeinerung ist des Begriffes eines endlichen topologischen Raumes und wie Sie im letzten

Semester schon gesehen haben, sind kompakte Mengen besonders schön, da wir zum Beispiel zeigen können,

dass stetige Funktionen auf diesen kompakten Mengen ihr Maximum bzw. ihr Minimum annehmen.

Außerdem sind kompakte Mengen besonders dann schön, wenn es darum geht, Existenzaussagen,

zum Beispiel von Lösungen mathematischer Probleme anzugeben. Immer dann, wenn man zeigen möchte,

dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, bietet es sich an, auf kompakten Mengen zu arbeiten,

denn dann weiß man, es gibt eine konvergente Teilfolge und deren Grenzwert liegt immer in

der Menge. Aus diesen Gründen wollen wir den Begriff der Kompaktheit im Folgenden noch einmal

wiederholen. Wir fangen an mit der Definition, die Sie im letzten Semester schon kennengelernt haben.

Das ist die Definition von Kompaktheit. Und wann haben wir eine Funktion, eine Menge,

kompakt genannt? Das war genau dann, wenn jede Folge innerhalb dieser Menge eine konvergente

Teilfolge enthält, deren Grenzwert auch in der Menge liegt. Das heißt, diese Eigenschaft,

die man sich wünscht, nutzt man, um kompakte Mengen zu definieren. Das heißt, eine Teilmenge,

nennen wir mal m, Teilmenge eines normierten Vektorraums x, versehen natürlich mit einer

entsprechenden Norm, ist kompakt. Wann? Genau dann, wenn jede Folge, die in dieser Menge m liegt,

wenn jede Folge, und die bezeichnen wir wieder mit xn, wobei n aus den natürlichen Zahlen ist,

die jetzt in der Menge m liegt, eine konvergente Teilfolge besitzt. Und konvergente Teilfolgen

hatten wir mit xnk bezeichnet. xnk, wobei k hier aus den natürlichen Zahlen ist, ist eine Teilmenge

der Folge xn, ein Element n besitzt. Und die muss ein Grenzwert in dieser Menge m haben. Wenn das für

jede dieser Folgen gilt, dann nennen wir die Teilmenge m kompakt, deren Grenzwert in m liegt.

Also das ist die Eigenschaft, mit der wir kompakte Mengen feststellen. Und in endlich

dimensionalen, metrischen Räumen haben Sie im letzten Semester schon ein wichtiges Resultat

kennengelernt. Wann Folgen, konvergente Teilfolgen besitzen? Das war der Satz von Bolzano Weierstrass,

und er besagte, dass abgeschlossene Kugeln in R hoch n oder in C hoch n kompakt sind. Das

wollen wir vielleicht noch mal wiederholen. Das heißt, ohne den Beweis noch mal durchzuführen,

diese wichtige Aussage aus endlich dimensionalen Räumen. Das ist der Satz von Bolzano Weierstrass,

den werden wir auch wieder nutzen in späteren Aussagen. Das heißt, wir wählen jetzt erst mal

einen Körper k, das sind entweder die reellen Zahlen oder der Körper k sind die komplexen Zahlen.

Ein Körper und wir brauchen eine beschränkte Folge, die nennen wir jetzt hier xk, k element n,

eine beschränkte Folge. Was heißt das? Das heißt, dass wir eine Konstante haben, die positiv ist,

sodass alle Folgenglieder in der abgeschlossenen Kugel bezüglich der Norm des Raumes x liegen.

Das heißt, es existiert eine Konstante C aus den positiven reellen Zahlen, sodass alle Folgenglieder

in der abgeschlossenen Kugel liegen. Alle Folgenglieder xk, k aus den natürlichen Zahlen,

in der abgeschlossenen Kugel liegen und die benennen wir jetzt als die Kugel oder den Ball,

deswegen b mit Radius c, das war die Konstante um die Null herum. Das ist natürlich eine Menge

des Raumes k hoch n, nämlich eben gerade der Ball mit Radius c um die Null. Und was heißt das? Dass

die Folge beschränkt ist, das können wir vielleicht auch noch mal ausdrücken, das heißt, dass wir

bezüglich der Norm, die auf diesen normierten Vektorraum definiert ist, nach oben abschätzen

können durch die Konstante C. Das heißt insbesondere, dass xk in der Norm kleiner

gleich c ist, völlig k aus n. So das sind die Voraussetzungen des Satzes von Bolzano-Weierstraße,

eigentlich relativ einfach. Wir brauchen nur einen Körper und eine beschränkte Folge und dann wissen

wir schon, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert auch wieder

in diesem Ball liegt. Das heißt, dann existiert eine konvergente Teilfolge, die nennen wir jetzt

mal xkj mit j aus den natürlichen Zahlen, die einen Grenzwert, das nennen wir jetzt mal xquare,

in dem normierten Raum selber x hat und der liegt selber noch in der Menge, ist also beschränkt in

seiner Norm. Das ist wichtig, er liegt nicht außerhalb der kompakten Menge, also xquare in

der Norm ist kleiner gleich c. So das war der Satz von Bolzano-Weierstraße, der sagt also,

habe ich eine beschränkte Folge in kn, dann weiß ich schon, dass hier eine konvergente Teilfolge