Guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir mit dem Kapitel über Fourier-Reihen angefangen.

Da haben wir zuerst mal trigonometrische Polynome betrachtet.

Das sind endliche Linearkombinationen der Funktionen Sinus K x, Cosus K x.

Eine konstante Funktion ist auch dabei.

Wenn man so ein trigonometrisches Polynom hat, kann man die Koeffizienten vor diesen Basisfunktionen berechnen,

indem man gewisse Integrale betrachtet.

Das hatten wir schon begonnen zu notieren.

Also ist f ein trigonometrisches Polynom.

Dann kann man die Koeffizienten als Integrale darstellen.

So sind die Koeffizienten.

Die Koeffizienten hießen in der reellen Darstellung a k und b k.

Die a k gehören zu den Cosus Koeffizienten und die b k zu den Sinus Koeffizienten.

Es gab auch eine komplexe Darstellung.

Da hießen die komplexen Koeffizienten c k.

Die stehen dann vor e hoch i k x als Basisfunktion.

Da läuft das k von minus n bis n.

Und da das k von 0 bis n bzw. von 1 bis n.

Diese Koeffizienten sind eindeutig bestimmt durch die Formeln.

A k sind gleich 1 durch pi Integral von 0 bis 2 pi f von x mal Cos K x dx für k von 0 bis n.

Wenn man die Funktionswerte hat, kann man die Koeffizienten als ein Integral darstellen.

Die b k sehen entsprechend aus, nur mit dem Sinus.

Der Faktor 1 durch pi ist hier auch der gleiche.

Hier steht f von x mal Sinus K x im Integral und das k läuft hier nur von 1 bis n.

Wenn Sie hier in den Sinus für das k 0 einsetzen, dann kommt ja 0 heraus und dann ist das Skalarprodukt auch immer 0.

Deshalb ist das nicht von Interesse.

Bei den c k hat man eine einheitliche Darstellung.

Da steht 2 pi im Nenner und man integriert von 0 bis 2 pi f von x mal e hoch minus i K x dx für k Element minus n bis n.

Die Formel für die komplexen Fourier-Koeffizienten, die sieht einheitlicher aus.

Das ist einfacher, sich die eine Formel zu merken.

Aber dafür ist es ja auch ein Integral mit einem komplexen Integranden.

Fürs Rechnen ist es oft günstiger, die reellen Darstellungen zu verwenden.

Warum funktioniert das Ganze überhaupt?

Sie können sich diese Basisfunktionen, Sinus K x und Cosus K x und 1 vorstellen, wie eine Basis im R hoch N ist.

Das sind ja auch nur endlich viele.

Da kennen Sie ja Ortonormalbasen.

Zum Beispiel im R hoch 2, das sind 2 Basen, die einen rechten Winkel haben.

Wenn wir die mal E i nennen,

das ist E j, weil das i ja das komplexe i ist, bei diesen Ortonormalbasen, sagen wir E 1 bis E n, oder E minus n bis E n ist Ortonormalbasis.

Dann sind die Skalarprodukte gleich Delta j k. Das kennen Sie wahrscheinlich auch schon.

Das ist das Chroniker Delta. Das hatten wir auch schon mal.

Das ist ja 1, wenn j gleich k ist und 0 für j ungleich k.

Das heißt, die Basisvektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und haben aber die Länge 1.

Dann kann man einen Vektor C, also sagen wir C minus n bis C n, in dieser Basis darstellen,

wenn das unser Vektor C ist, als Summe von k gleich minus n bis n.

Jetzt kommen die Skalarprodukte aus C und diesen Basisvektoren e k und dann mal die Basisvektoren e k.

In der Linie an Algebra kennen Sie ja,

gibt es eine eindeutige Koeffizientendarstellung bezüglich einer Basis.

Wenn das eine Ortonormalbasis ist, dann bekommt man die Koeffizienten dieser Basisdarstellung

eindeutig, indem man die Skalarprodukte bildet zwischen dem Vektor, den man darstellen will,

und den Basisvektoren, die ein Ortonormalsystem bilden.