Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen zusammen. Wir hatten letztens mal angefangen, uns konkret und allgemein mit

Einflussverfahren zu beschäftigen. Und zwar sind wir ausgegangen vom sogenannten expliziten

Euler-Verfahren oder Polygonzug-Verfahren. Ich habe gleich gesagt, dieses Verfahren hat eigentlich

heute nur noch Demonstrationszwecke. Wir haben gesehen, dieses Verfahren konvergiert, nicht

besonders schnell, sondern nur in der Ordnung 1, wobei wir damit dann die Potenz in H meinen,

mit der wir den Fehler zwischen ermittelter Gitterfunktionsnäherungslösung und der kontinuierlichen

Lösung auf den Gitterpunkten meinen. Entscheidet man sich dafür, nur wie beim Euler-Verfahren

jeweils nur den alten Gitterfunktionswert mit in die Rechnung einzubeziehen. Die Verbesserung

kommt jetzt dadurch, dass wir für diesen einen Schritt von Tj nach Tj plus 1 mehrere Auswertungen

von f, was sozusagen den wirklichen Aufwand in dem Verfahren, solange es explizit ist, darstellt.

Dass wir solche mehreren Auswertungen zulassen. Wir haben ein paar Beispiele gesehen. Wir gehen

sie vielleicht noch mal schnell durch. Auch diese Beispiele sind mehr historischen Charakters. Das

fängt an mit dem verbesserten Polygonzugverfahren, wo wir den Differenzenquotienten als zentralen

Differenzenquotienten interpretieren und dementsprechend hier eine Approximation brauchen

für diesen Wert zwischen den Gitterpunkten, was wir wiederum mit dem Euler-Verfahren machen.

Oder aber das Verfahren von Heun, wo man den zentralen Differenzenquotienten auffasst,

also eine Ermittlung aus den vorwärts genommenen Differenzenquotienten und den rückwärts

genommenen Differenzenquotienten, wo man hier nicht sich eigentlich jetzt den unbekannten Wert yj

plus eins einhandeln würde. Das würde zu einem impliziten Verfahren führen, die wir uns später

anschauen. Und um das zu vermeiden, macht man hier wieder einen Euler-Schritt. Ich weiß es nicht

mehr genau, welches dieser beiden Verfahren, aber eines dieser beiden Verfahren, zumindest in Hamburg,

zumindest an der TU Hamburg-Harburg, heißt dort Euler-Verfahren oder Euler im Beiboot. Denn was

macht man da? Man möchte ja wissen, man möchte sozusagen nicht nur die Strömung an der Stelle

wissen, wo man ist, sondern man möchte sich sozusagen schon wissen, wo man hinfahren möchte,

um entsprechend dort hinsteuern zu können. Also letztlich natürlich im Implizit, das ist ein

gekoppeltes Problem. Und was macht man? Man schickt Euler im Beiboot vor, dass es schon mal schauen

kann, wie da die Strömung ist. Er meldet es zurück an den Steuermann und dann funktioniert das auch

besser. Okay, das reduziert sich natürlich, wenn die rechte Seite von y unabhängig ist,

auf Quadratur, zusammengesetzte Newton-Kurz-Formeln, von denen wir die Konvergenzordnung schon kennen.

Und wir, das wäre sozusagen die Situation unseres expliziten Euler-Verfahrens. Das wäre die

zusammengesetzte Mittelpunkt und das die zusammengesetzte Trapezregel. Und hier wissen wir

schon, diese Verfahren sind von zweiter Ordnung. Da können wir den Fehler mit h² abschätzen. Und

das hoffen wir natürlich, dass das jetzt auch in dieser allgemeineren Situation für

Anfangswertaufgaben gilt und dass wir auch eine Systematik finden, wie wir diesen Ansatz der

Hinzunahme von Funktionen, von Auswertungen und von F systematisieren können, um dann ein Verfahren

auf dritte Ordnung, vierte Ordnung, fünfte Ordnung und so weiter entwerfen zu können. Das soll unser

Ziel heute sein. Und zu diesem Zweck haben wir also allgemein formuliert, was wir unter einem

Einschrittverfahren verstehen. Da taucht also der Differenzenquotient als Ersatz für die Ableitung

auf und anstelle der rechten Seite taucht eine Approximation der rechten Seite auf, die eben

dann konkret durch Auswertungen, mehrfache Auswertungen von F sozusagen ausgewertet werden

wird. Und die bestimmende Größe des Verfahrens ist also diese Verfahrensfunktion FH. Wir haben

den Begriff, sozusagen die üblichen Begriffe eingeführt, was wollen wir unter Konvergenz

verstehen, was wollen wir unter Konvergenzordnung verstehen. Wir messen hier den Fehler in einer

diskreten Maximumsnorm. Das ist schon eine recht kräftige Norm. Und wir haben festgestellt, es

gibt eine wesentliche Größe, sozusagen eine minimale Bedingung, die wir erfüllen müssen und die

bezieht sich auf den lokalen Abbruchfehler oder lokalen Abschneidefehler oder Konsistenzfehler.

Und zwar meinen wir damit folgende Gitterfunktion, die dadurch entsteht, dass wir die exakte Lösung

ins Verfahren einsetzen und das Ganze dann noch mal durch Hj teilen. Wir nehmen also nicht die

aufgelöste Form nach yj plus 1 her, sondern sozusagen die ursprüngliche Form her. Und die