Nachdem wir im letzten Video motiviert haben, warum wir uns für Eigenwerte und Eigenvektoren

in der Mathematik interessieren und auch ein paar grundlegende Eigenschaften und Zusammenhänge

aus dem letzten Semester wieder in Erinnerung gerufen haben, wollen wir uns in diesem Video

damit beschäftigen, was eigentlich Eigenwerte und Eigenvektoren sind. Wir werden in diesem

Abschnitt, der nun Eigenwerte und Eigenvektoren heißt, werden wir wahlweise von Endomorphismen

sprechen, also linearen Abbildungen von einem Vektoraum in sich selbst oder den darstellenden

Matrizen, die, wie wir im letzten Video gesehen haben, bezüglich einer Basis ein Endomorphismus

darstellen und dabei eindeutig sind. Das heißt, wir werden wechselseitig mal von einem Endomorphismus

F sprechen, der von einem Vektoraum V nach V geht und einer darstellenden Matrix A, die

definieren wir als die darstellende Matrix bezüglich einer Basis B, die hier beliebig

ist, das Vektorraums V, die den Endomorphismus F induziert. Gut, wir haben das letzte Mal

schon geometrisch eine Art Anschauung gehabt, was so ein Eigenvektor und ein Eigenwert sein

sollen. Nochmal kurz zur Erinnerung, wir haben gesagt, nehmen wir mal einen beliebigen Vektor

V des Vektoraums, der in eine Richtung zeigt, das hier sei unser Vektor V in V, dann haben

wir gesagt, wir interessieren uns vor allem für die Vektoren, die Invariant sind bezüglich

des Endomorphismus Fs in der Form, dass sich die Richtung nicht ändert. Also der Vektor

darf länger werden, er darf kürzer werden, er kann auch exakt gespiegelt werden in die

gegengesetzte Richtung, sprich, jegliche Veränderung mit einem Skalar ist in Ordnung, aber ich

darf die Richtung nicht ändern. Das heißt, ein Eigenvektor, für den wir uns interessieren

würden, wäre zum Beispiel auch dieser Vektor und den würden wir bezeichnen als F von V.

Und wie wir gleich sehen werden, muss der von der Gestalt sein, dass F von V gleich

Lambda mal V ist, wobei Lambda ein Skalar aus dem Körper ist. Das war die geometrische

Anschauung eines Eigenvektors und der Eigenwert ist dementsprechend die Streckung oder Stauchung

dieses Vektors und das Ganze wollen wir jetzt mathematisch definieren. Das heißt, unsere

erste Definition wird sein, Definition von Eigenwert, Eigenvektor und noch ein Begriff,

das wir in diesem Zuge einführen möchten, ist das Spektrum eines Endomorphismus. Also,

geben wir uns ein Endomorphismus vor, sei F von V nach V ein Endomorphismus und dann

können wir schon sagen, ein Skalar, das wir in den nächsten Wochen immer mit Lambda bezeichnen

werden, ein Skalar Lambda aus dem Körper K, heißt Eigenwert, Eigenwert vom Endomorphismus

aus dem Körper K. Das ist jetzt die Bedingung, die man prüfen muss. Wenn ein Eigenvektor

existiert, den nennen wir in diesem Fall V in V und nun ganz wichtig die Bedingung,

V muss ungleich dem Nullvektor sein, denn wir werden gleich sehen, ansonsten wäre diese

Bedingung nicht gleich. Wenn so ein Eigenvektor existiert, so das Folgendes gilt, nämlich,

die Gleichung haben wir da oben schon gesehen, es muss gelten, F von V ist gerade ein skalares

Vielfaches des Vektors selber. Genau, und warum ist es wichtig, dass V ungleich dem

Nullvektor ist? Naja, wenn ich den Nullvektor in eine lineare Abbildung stecke, dann wird

der immer auf die Null abgebildet, das ist eine Eigenschaft von linearer Abbildung, dann

würde die rechte Seite natürlich, weil es der Nullvektor ist, auch für beliebige Skalare

Lambda aus K auch immer der Nullvektor sein und damit wäre jedes Skala Eigenwert des

Endomorphismus und das würde keine sinnvolle Definition ergeben, darum fordert man, dass

V als Eigenvektor nicht der Nullvektor sein darf. Genau, dann wissen wir eigentlich schon,

was ein Eigenwert ist und was ein Eigenvektor ist. Das einzige, was uns noch fehlt, ist

der Begriff des Spektrums und das ist ganz einfach, die Menge aller Eigenwerte des Endomorphismus

und Eigenwerte werden wir häufig abkürzen mit Groß E und Groß W für Eigenwerte. Also

die Menge aller Eigenwerte von F nennt man Spektrum von F. So, Spektrum, ich schreibe

mal ein bisschen deutlicher. Spektrum von F. Gut, damit haben wir die grundlegende Definition

schon eingeführt, das heißt, wichtig nochmal, wir brauchen ein Skalar aus dem Körper, ja,

es ist wichtig, dass es derselbe Körper ist, wie wir später sehen werden. Wir brauchen

ein Eigenvektor, das muss ein beliebiger Vektor sein, der nicht der Nullvektor ist und dann

muss diese rote Gleichung, die wir in die Mitte geschrieben haben, die muss erfüllt sein,