Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, willkommen zur vierten Prolesung. Heute beschäftigen wir uns mit dem Einfachspalt.

Wir hatten ja in unserem Experimentum Gruzes den Doppelspalt betrachtet und darin allerdings zunächst einmal Annahmen gemacht,

bzw. habe ich Ihnen das experimentelle Ergebnis mitgeteilt, wie hinter einem Einfachspalt die Verteilung von Teilchen aussieht,

wenn ich die durch eine Elektronenkanone abschieße, durch einen Einfachspalt.

Nun haben wir ja inzwischen herausgefunden, wie die quantenmechanische Amplitude ausgerechnet wird für ein massives Teilchen,

das sich frei bewegt, aber möglicherweise durch einen Spalt geht oder für das es interferierende Möglichkeiten gibt.

Und wir betrachten uns heute den Einfachspalt in dieser quantenmechanischen Beschreibung,

um das erste Element für die Berechnung des Doppelspaltes zu haben.

Wir betrachten nun unter Benutzung der Ergebnisse zur Berechnung der quantenmechanischen Amplitude

und die Anzahl der Elektronenkanone oder Amplitudelle den folgenden Aufbau.

Wir nehmen wie immer unsere idealisierte Elektronenkanone her und betrachten jetzt hier allerdings einen Schirm

mit nur einem geöffneten Loch, ich mache das mal ein bisschen größer, weil wir gleich in dieser Skizze etwas genauer werden.

Und dieses zweite Loch, das wir immer betrachtet haben, das verschließen wir.

Also das soll ab jetzt geschlossen sein.

Und ich male hier nur noch mal zur Illustration die Symmetrieachse dieses Problems ein.

Und wir betrachten hier einen Spalt, dessen Mittelpunkt auf dieser Ortsachse, auf der vertikalen Ortsachse bei einem Wert x0 liegen mag,

wobei diese Symmetrieachse beim Wert 0 liegen mag für die weitere Bearbeitung mit Formeln.

Und dann soll dieser Spalt insgesamt eine Breite von 2b haben.

Also bisher hatten wir den Spalt nur als ganz kleines Loch betrachtet, um im Prinzip die Konstruktion von Amplituden zu betrachten.

Aber realistischerweise ist natürlich jeder Spalt hat natürlich eine Breite, das ist hier die Breite 2b.

Und wie gesagt, hier dieses x0 zeigt nur die Lage dieses Mittelpunkt an.

So b oberhalb und b unterhalb dieses x0 sind hier die Spaltränder zu finden.

Und dann gibt es hier in diesem Problem hinten noch mal einen Schirm, an dem irgendwelche Detektoren aufgestellt sind,

die hier eben anzeigen, ob ein Teilchen einschlägt oder eben nicht.

So, jetzt hatten wir uns ja schon von der klassischen Vorstellung befreit durch unser Gedankenexperiment,

bzw. durch die Beachtung der experimentellen Ergebnisse, was beim Doppelspalt passiert.

Und wenn wir jetzt natürlich einen realistischen Doppelspalt ausrechnen wollen, müssen wir erstmal wissen, was bei den Einzelspalten passiert,

also welche Amplitude für den Übergang eines Teilchens von hier nach hier existiert, wenn es durch diesen Spalt geht, irgendwo hier.

Sodass wir dann, wenn wir keine Detektoren aufstellen, als interferierende zweite Möglichkeit eben durch das zweite Loch gehen können.

Aber das hier ist sicherlich ein elementarer Rechenschritt für die Berechnung des Doppelspaltes, dass wir den Einfachspalt verstehen

und nun aber in dieser verfeinerten Version mit endlicher Spaltbreite.

Und das rechnen wir heute aus. Und da werden wir einiges Interessantes lernen.

Insbesondere werden wir eine Manifestation der unscharfen Relation in der Quantenmechanik in diesem ganz konkreten Beispiel sehen.

Wenn wir nachher Operatormethoden einführen, Kommutatorklammern usw., werde ich Ihnen einen exakten,

eher algebraischen Beweis oder Herleitung für die unscharfe Relation mit wirklich der untersten Grenze geben.

Aber in diesem Beispiel, wie in allen quantenmechanischen Problemen, lässt sich schließlich doch die unscharfe Relation immer auf die eine oder andere Art sehen.

Und wir machen diese Beobachtung jetzt zunächst mal in diesem konkreten Kontext, um ein bisschen bestes Gefühl,

oder um ein bestes Gefühl für die unscharfe Relation gleich vorweg zu nehmen.

Denn nachher der algebraische Beweis ist zwar sehr durchsichtig, aber die Frage ist natürlich immer, was genau würde das im Experiment bedeuten.

Okay, also das ist unser Aufbau soweit. Und nun hatten wir uns ja schon von der quantenmechanischen, von der klassischen Idee befreit,

dass die Teilchen hier einfach so auf einer Trajektorie durchfliegen.

Vielmehr war es so, dass wenn ich verstehen will, wie ein Teilchen von hier nach zum Beispiel hier übergeht,

dass ich ein Fahrtintegral ausrechnen muss, und zwar über alle möglichen Wege, die das Teilchen von dort nach dort hinten nehmen kann.

Und da unser Spalt jetzt nun mal eine Breite 2b hat, wissen wir nicht mehr, dass ein Teilchen, das da hinten ankommt,

auf jeden Fall durch einen bestimmten Punkt hier gegangen sein muss, sondern nur noch durch einen dieser möglichen Punkte hier.

Und jetzt wird die Zeichnung hier ein bisschen klein, wir können sie nachher noch ein bisschen größer hinmalen.

Aber Sie können sich vorstellen, ich kann nun hier im Abstand von dieser, also quasi dieser Abstand zwischen diesem Mittelpunkt des Spaltes

und dem Durchgangspunkt oder einem möglichen Durchgangspunkt, diesen Abstand, den kann ich nochmal mit y kennzeichnen.

Also wenn y positiv ist, bin ich etwas oberhalb des Mittelpunktes des Spaltes durchgegangen.