In diesem kurzen Video wollen wir uns mit einem Spezialfall von Banachräumen beschäftigen,

über den wir schon gesprochen haben, ohne ihn explizit zu nennen, nämlich den sogenannten

Hilberträumen. Hilberträume sind in der Mathematik eine besonders schöne Struktur,

da sie eine Norm besitzen, die durch ein Skalarprodukt induziert ist. Da denken wir

natürlich sofort an den euklidischen Vektorraum. In diesen Räumen besitzen wir sehr viel Struktur,

wir können Winkel messen, Längen und ähnliches und solche Räume existieren auch im unendlich

dimensionalen. Aus diesen Gründen ist es eigentlich auch nicht verwunderlich, dass Hilbert-Räume auch

in der Physik einen besonders großen Wert haben, zum Beispiel in der Quantenmechanik oder aber auch

im maschinellen Lernen sind Hilbert-Räume besonders ein gängiges Werkzeug, da sie zum Beispiel bei

Kernel-Messages in der Statistischen Lerntheorie vorkommen und sogenannte reproducing Kernel-

Hilbert-Spaces sind ein eigenes Forschungsgebiet im Bereich Data Science. Wir wollen uns also in

diesem kurzen Video einmal anschauen, was nennen wir ein Hilbert-Raum und einige Beispiele diskutieren.

Das wird relativ schnell gehen, das soll einfach nur dazu dienen, die bisherige Theorie um diesen

wichtigen Begriff noch zu ergänzen. Das heißt, wir beginnen mit folgender Definition. Ein Hilbert-Raum.

Was verstehen wir unterm Hilbert-Raum? Ich habe schon gesagt, das ist ein Spezialfall eines

Banach-Raums. Dementsprechend sieht auch die Definition aus. Wir nennen einen Banach-Raum.

Was war noch mal ein Banach-Raum? Das war ein normierter Vektorraum, der vollständig bezüglich

seiner Norm ist. Das heißt insbesondere, dass alle Grenzwerte von konvergenten Folgen noch in diesem

Raum drin liegen. Also wir nennen einen Banach-Raum, den bezeichnen wir mit x und seiner zugehörigen

Norm in x. Ein Hilbert-Raum, wenn dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Also

dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Solch einen Banach-Raum nennen wir einen Hilbert-Raum.

So einfach ist die Definition. Das heißt das einzige was wir brauchen ist, es muss ein normierter

Raum sein. Dieser normierte Raum muss vollständig sein und die Norm muss durch ein Skalarprodukt

induziert sein. Da fallen uns schon einige Beispiele ein, die wir im Laufe dieser Vorlesung

diskutiert haben. Die wollen wir jetzt mal explizit durchgehen und Beispiele nennen für

Hilbert-Räume und auch Räume, die keine Hilbert-Räume sind. Einfach um diese Unterscheidung noch mal klar

zu machen. Was fällt uns dazu ein? Der erste Raum ist natürlich der euklidische Vektorraum,

immer als kanonische Wahl für Beispiele. Also der euklidische Vektorraum R hoch N zusammen mit der

euklidischen Norm. Wie war die nochmal definiert? Ganz einfach, das war die Norm eines Vektors x

aus diesem Vektorraum. Wir schreiben für die euklidische Norm oft die Zweinorm. Das war

definiert im Prinzip als die Summe von i gleich 1 bis n über die Quadrate der Einträge dieses

Vektors und aus der gesamten Summe noch mal die Wurzel. Und wir haben auch schon im Kapitel

euklidische Vektorräume gesehen, dass das Ganze auch durch ein Skalarprodukt ausgedrückt werden

kann und deswegen ist es ein Hilbert-Raum. Dieses Skalarprodukt ist natürlich das standardkanonisches

Skalarprodukt im R hoch N und daraus die Wurzel gezogen. Das heißt, dieser euklidische Vektorraum

R hoch N ist ein Hilbert-Raum. Das ist jetzt wenig überraschend, habe ich im Prinzip so angekündigt

und deswegen auch eine beliebte Wahl für viele Beispiele und für das alltägliche Rechnen. Jetzt

können wir mal denselben zugrundeliegenden Vektorraum nehmen, aber die Norm ändern und

dann sehen wir, okay, es handelt sich dann nicht mehr um einen Hilbert-Raum. Also wir ändern nur

die Norm, der Banach-Raum, der auch durch den R hoch N gegeben ist, aber diesmal mit der Norm,

mit der sogenannten Maximums-Norm, die haben wir auch schon gesehen in der Vorlesung. Dies

ist jetzt kein Hilbert-Raum mehr, weil die Norm eben nicht durch ein Skalarprodukt induziert werden

kann. Also ist kein Hilbert-Raum. Dann können wir uns mal ein bisschen was komplizierteres anschauen,

nicht nur Vektoren. Wir können auch in Vektorräume, die über Matrizen aufgespannt werden,

diskutieren. Das ist immer noch ein endlichdimensionaler Raum. Auch der euklidische

Vektorraum ist endlich dimensional und wir werden uns gleich noch unendlich dimensionale

Beispiele anschauen. Aber zuerst mal hier, also der Matrizenraum, den haben wir innerhalb

der linearen Algebra immer mit einem Grunde liegenden Körper K bezeichnet, der M Kreuz N

Matrizen und wir müssen hier fordern, dass diese reelle oder komplexe Einträge haben

oder Komplexen ausgestattet mit etwas neuem, das wir vielleicht in dieser Form noch nicht kennen,