Als abschließendes Video aus der Reihe zu normierten Vektorräumen wollen wir uns heute mit dem

topologischen Dualraum beschäftigen und topologische Dualräume spielen nicht nur in der

Funktionalanalyses eine wichtige Rolle, sondern erlauben es beispielsweise in der Defensialgeometrie

eine Manigfaltigkeit zu integrieren. Das kann man sich ungefähr wie folgt vorstellen, falls wir uns

in höherdimensionalen Räumen befinden und ich malte es mit Einfachheit halber eine Ebene R2 und

darin lebt eine eindimensionale Manigfaltigkeit hier angedeutet durch diese eindimensionale Kurve,

dann ist die Frage, wenn ich eine Funktion habe, die auf dieser Kurve lebt, wie kann ich darüber

integrieren und da wird uns der Dualraum im Studium helfen, denn er erlaubt es zum Beispiel in einem

Punkt entlang dieser Kurve den Tangentialraum zu betrachten und die Vektoren in diesem Tangentialraum,

der den Dualraum darstellt, die helfen uns im Prinzip bei der Integration, denn dann befinden

wir uns in einem niedrigdimensionalen euklidischen Vektorraum, in dem wir dann Integrationsregeln

anwenden können und nicht auf komplizierten, beliebig kurvigen Oberflächen rumrechnen müssen.

Das ist eins der Beispiele, in der uns Dualräume helfen. Ein anderes ist beispielsweise eine

Optimierung, ein gängiger Trick, gerade in der konvexen Optimierung. Was man da gerne macht,

ist, man hat ein Optimierungsproblem der folgenden Gestalt. Zum Beispiel möchte man den Gradienten

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man möchte eine Funktion finden, deren Gradient möglichst klein ist. Es also

wenig Veränderung aufweist. Da wäre ein typisches Problem sowas wie minimiere über alle Nad 시

zu During mediation da wäre ein typisches Problem sowas wie minimiere über alle ai Funktion aus

G algunos FunktIonen aus einem Kabinettsraum und zwar wollen wir minimieren, Gradiente

Funktion gemessen in der L1Norm und die haben wir in einem der

vorherigen Video schon einmal kennengelernt. Wie sieht das

ganze aus? Das war so was wie das Integral über ein Gebiet und

zwar über die Norm des Gradienten der Funktion U von x.

Das ist jetzt hier in dem Fall die 2 everybody d x. Jetzt kann

es sein, dass dieses Integral oder diese Optimierungsaufgabe

schwer zu lösen ist. Zum Beispiel weil man governor

die gar nicht stetig differenzierbar sind, sondern nur schwach differenzierbar. Das ist ein Begriff,

den Sie auch noch kennenlernen werden. Und da ist ein gängiger Trick von diesem primalen Problem

zu einem dualen Problem überzugehen. Das heißt, was man typischerweise sich anschaut, ist eine

äquivalente Formulierung und man kann zeigen, dass Lösungen, diese äquivalenten Formulierungen,

auch Lösungen des ersten Problems hervorrufen. Und wie sieht das Ganze aus? Man schaut sich dann

plötzlich Elemente im Dualraum an. Das werden wir gleich definieren, was das ist. Und da wird

aus dieser einfachen Minimierungsaufgabe eine Maximierungsaufgabe über Elemente p im Dualraum,

den bezeichnen wir mit x Strich. Und es muss gelten, dass p in solchen Operatornorm kleiner

gleich 1 sein muss. Und jetzt integrieren wir plötzlich was anderes, nämlich wir wollen jetzt

plötzlich das Integral von Minus der Funktion u von x. Es taucht hier kein Gradient mehr auf.

Dafür haben wir jetzt plötzlich hier ein Skalarprodukt mit der Divergenz der Funktion p von x dx.

Naja, und im Prinzip, was ist die Idee dahinter? Diese Funktion p von x kann auch als Testfunktion

nehmen und man kann mittels adjungierten Operator zeigen, dass der Gradient hier von u von x

rüber wandert zu einer Divergenz auf der Testfunktion. Und dann kann man das primale Problem,

das hier in grün geschrieben ist, durch ein duales ersetzen. Und in manchen Fällen ist es wesentlich

einfacher, Lösungen für dieses duale Problem zu berechnen als für das originale primale Problem.

Das soll nur Motivation sein, warum man sich mit Dualräumen überhaupt beschäftigen soll. Wir fangen

natürlich wie immer an mit einer Definition. Was verstehen wir denn unter einem topologischen

Dualraum? Also Definition topologischer Dualraum und wir führen auch gleichzeitig in dem Kontext

den Begriff des Funktionales ein. Also was verstehen wir darunter? Der topologische Dualraum ist nicht

nur definiert für normierte Vektorräume, wie wir sie aktuell betrachten, sondern für beliebige

topologische Räume. Das ist noch etwas viel Allgemeineres, das wir in dieser Vorlesung aber

nicht behandeln werden. Darum bleiben wir bei normierten Räumen, aber behalt es im Hinterkopf,