Jetzt wollen wir uns etwas mit was beschäftigen was auf den ersten Blick vielleicht wie was

völlig anderes ist, was aber in engem Zusammenhang mit den Stammfunktionen steht.

Das Ziel das wir jetzt haben ist den Flächenenthalt zu berechnen, den der Graph einer Funktion

einnimmt und zwar das jetzt der Graph der Funktion, also f von x hier oben das x und

wir wollen jetzt gerne zugegeben werden a und b, also zum Beispiel den Definitionsbereich

grenzen, aber es könnten auch andere Werte sein, den Flächenenthalt bestimmen, den diese

Form hier einnimmt, die hier unter dem Graph in der Funktion liegt und eingespannt wird

von erstmal den Graphen der Funktion, dann der x Achse und dann den Senkrechten bei a

und bei b, diese Fläche.

Die Idee wie hier dahinter steckt ist, dass man dieses Intervall hier erstmal zerlegt in

Bereiche, also die könnten unständig groß sein theoretisch, das lasse ich mal zu und

an diesen Stellen malt man so Rechtecke rein, man muss sich so ein bisschen fragen, erstmal

geht es hier so hoch, das ist mal für jeden von diesen Zwischenschritten hier, also sagen

wir hier ist vielleicht so ein x i, das ist hier oben f von x i und dann könnte man zum

Beispiel so vorgehen, man nimmt den kleineren Wert der beiden oder am besten den kleinsten

Wert, den die Funktion auf dem ganzen Intervall hier in diesem Subbereich hier einnimmt und

macht so ein Rechteck draus, hier dieses Rechteck, hier dieses Rechteck, dieses Rechteck und

dieses Rechteck und da haben wir noch eins vergessen, dieses Rechteck hier und dann sehen

wir schon erstens diese Rechtecke, deren Fläche können wir leicht ausrechnen, die Fläche

von diesem Rechteck ist, wenn das jetzt hier x1 ist, x1 minus a mal die Höhe, was die

Höhe, mal f von a.

Können wir also elementar ausrechnen, Rechtecke haben eine ganz einfach auszurechnende Fläche,

das heißt wir können jetzt hier die Fläche unter diesem Graphen approximieren, indem

wir solche Rechtecke hier reinsetzen, Rechtecke können wir leicht ausrechnen in deren Fläche,

das heißt wir können das approximieren durch etwas, was wir einfacher ausrechnen können.

Alternativ hätten wir natürlich auch folgendes machen können, wir nehmen jetzt nicht diesen

kleineren Wert, sondern wir nehmen den größten Wert, den die Funktion auf dem ganzen Gebiet

einnimmt und dann machen wir dieses große Rechteck hier rein, genau so gut hier dieses

große Rechteck, großes Rechteck und da sehen wir ja, das ist auch eine Approximation an

die Fläche unter dem Graphen der Funktion und die rote Approximation, die unterschätzt

die Fläche, die blaue Approximation, die überschätzt die Fläche und diese Idee nennt

man Riemannsummen.

Wir vereinigen also schmale vertikale Rechtecke und approximieren damit die Fläche unter dem

Graphen, weil damit der Flächen halt einfach ausrechnen ist.

Die Konfiguration auf einmal, aber eigentlich ist genau alles schon erklärt, was hier drin

steht.

Wir haben also eine Funktion, die sei erstmal beschränkt auf einem Intervall a b und jetzt

zerlegen wir diesen Intervall a b in dieser Form x0 bis xn, wobei x0 gleich a ist, was

der linken Grenze entspricht.

Hier ist a, hier ist b, jetzt machen wir einfach so Zwischenschritte.

Das nennt man x0, das ist x1, x2, x3, x4 und ja das ist jetzt dann x5 gleich xn, das ist

b.

Seine Zerlegung geht es in x0 bis x5.

Die feine Zerlegung ist jetzt die maximale Intervalllänge und in diesem Beispiel hier,

das maximale Intervall hat hier diese Länge, das heißt das hier ist jetzt z5.

Für diese spezielle Wahl von dieser Zerlegung ist das hier die Feinheit dieser Zerlegung.

Das ist der maximale Abstand zwischen diesen.

Wenn wir also die Feinheit möglichst fair verteilen wollen, dann müssten wir diese

ganzen Punkte hier equidistant, also mit gleichem Abstand auf dem Intervall verteilen, was

wir auch machen können.