Nach all den abstrakten Konzepten und Sätzen des letzten Kapitels über die normierten Vektorräume

wollen wir uns jetzt wieder mit ein wenig mehr angewandter Analysis beschäftigen und insbesondere

die Integralrechnung noch mal aufgreifen. Im letzten Semester haben sie bereits die wichtige

Klasse der Riemann integrierbaren Funktionen kennengelernt und sie haben auch gesehen,

dass es viel mehr integrierbare Funktionen gibt als beispielsweise differenzierbare Funktionen.

Und es folgt insbesondere, dass wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig und

wenn sie stetig ist, dann ist sie integrierbar. Die Umkehrung geht natürlich nicht. Daraus folgt

automatisch, dass die Menge der integrierbaren Funktionen viel größer ist als die Menge der

differenzierbaren Funktionen. Und obwohl es viel mehr solcher integrierbaren Funktionen gibt, ist

es viel schwieriger, eine Stammfunktion für eine Funktion zu bestimmen oder ein Integral auszurechnen,

als es für uns in der Regel ist, eine Ableitung zu bestimmen. Um es mal mit den Worten eines

Kollegen am Department wiederzugeben, wenn Sie sich vorstellen, Sie stehen vor dem großen Topf

aller integrierbaren Funktionen und Sie halten sich die Augen zu und greifen hinein, dann ist die

Chance fast eins, dass Sie eine Funktion erwischen, deren Stammfunktion Sie nicht analytisch

hinschreiben können. Und das mag jetzt erstmal ein wenig angsteinflößend sein, vielleicht sogar

ein bisschen deprimierend, aber wie wir sehen werden, sind für die wichtigsten Funktionen

Stammfunktionen berechenbar und wir werden uns jetzt im Folgenden damit beschäftigen, welche

Rechenregeln es gibt, um solche Stammfunktionen herzuleiten und wie wir konkret Integrale berechnen

können. Das sollte insbesondere in der Physik sehr von Vorteil sein, denn viele Probleme in der Physik

können als ein Integralgleichung gestellt werden, bei der es darum geht, einen Integranten aufzuintegrieren

und wir werden viele verschiedene Regeln kennenlernen und konkret auch Integrale berechnen, sodass

Sie hoffentlich ein gutes Werkzeug haben, um diese sehr, sehr verschwindenden kleine Klasse an

integrierbaren Funktionen, deren Stammfunktionen man auch wirklich hinschreiben kann, gut anzupacken.

Für alle anderen Funktionen bleibt einem leider nichts anderes übrig, als numerisch vorzugehen,

das heißt, man versucht nicht analytisch einen geschlossenen Ausdruck aufs Papier zu schreiben,

sondern man bemüht einen Computer, der approximativ eine Lösung für ein Integral findet. Das mag für

den einen oder anderen unbefriedigend sein, aber in einer digitalisierten Welt, wie wir sie heute

haben, wird eh vieles über den Computer gemacht, das heißt, so ein kleines Integral können wir auch

noch verkraften. Wir werden uns nur mit Integralen in einer veränderlichen, also von Funktionen in

einer veränderlichen beschäftigen. Es gibt später in höheren Vorlesungen Ihres Studiums auch den

Begriff des Integrals über eine Funktion in mehreren veränderlichen, für den wir typischerweise

dann noch ein neuer Integralbegriff eingeführt. Man spricht da nicht mehr vom Riemannintegral,

sondern verwendet ein allgemeineres Konzept, nämlich den des Lebesque Integrals. Das werden

wir leider aus Zeitgründen in dieser Vorlesung nicht schaffen. Es geht hier eigentlich nur darum,

Ihnen die nötigen Werkzeuge mit an die Hand zu geben, um die Integralrechnung für Sie fassbar

zu machen. Wir wollen in diesem Video erstmal nur ein paar alte Konzepte nochmal wiederholen,

um sie aufzuwärmen und danach stürzen wir uns in neue Rechenregeln und fangen wirklich an,

konkrete Integrale zu berechnen. Wir wollen anfangen mit dem Begriff des unbestimmten Integrals und

der Stammfunktion sozusagen als Grundlage für all das, was wir im Folgenden tun werden. Das heißt,

wir beginnen wie immer mit einer Definition und zwar das unbestimmte Integral und die Stammfunktion

und Stammfunktion. Was war das nochmal? Wir geben uns jetzt und auch im Folgenden immer

ein Intervall vor in den reellen Zahlen und betrachten sozusagen integrierbare Funktionen

über diesen Intervall, also sei a, b, Teilmenge von R ein Intervall und wir betrachten eine Funktion,

die nennen wir f, die lebt auf diesem Intervall a, b und ist reellwertig, machen es uns sehr

einfach und die nennen wir eine integrierbare Funktion, also damit meinen wir Riemann integrierbar.

Eine integrierbare Funktion im Sinne des Riemann Integrals. Das heißt insbesondere,

dass sie integrierbar ist auf jedem Teilintervall von a, b. f ist insbesondere integrierbar

für alle Teilintervalle i, Teilmenge a, b. Jetzt beginnt die Definition. Wir nennen eine Funktion

unbestimmtes Integral, wenn wir die Integration zwischen zwei Grenzen ausdrücken können als die

Differenz dieses unbestimmten Integrals an den beiden Integrationsgrenzen. Also wie sieht das aus?