Hallo wir machen jetzt die Präsentaufgaben von Blatt 9. Hier geht es ausschließlich um

Integrate und insbesondere geht es darum, dass wir diese ganzen Tricks und Techniken und Methoden,

die wir jetzt gelernt haben, also Partiellintegration, Integration durch Substitution,

dass wir die jetzt mal üben. Denn da steckt nicht viel dahinter, man muss nur so ein bisschen Übung

daran bekommen zu erkennen, wann man welchem Tod einsetzen muss. Wir fangen an mit der Aufgabe

26a, wir sollen diese Funktion hier integrieren, also deren Stammfunktion bestimmen. Und hier ist

eigentlich nichts zu machen, das ist die Summe von lauter Funktionen, die wir alle elementar integrieren

können. Und das machen wir jetzt einfach. x² integriert ist ein Drittel x hoch 3, 3x integriert ist

minus, also minus dreihalbe x², da haben wir hier plus x. 1 durch x integriert ist Eden von x und 2 durch x

quadrat integriert ist minus 2 durch x. Also muss man ein bisschen aufpassen mit diesen negativen

Potenzen hier, x auf minus 2 wird das integriert und dass man 1 durch x nicht wie ein Poenomen

integriert, sondern an den Logarithmus denkt, aber ansonsten ist alles hier ganz einfach. Die

Konstante plus 10 nicht vergessen, weil Stammfunktionen nur bis auf Konstanten eindeutig sind. Aufgabe b,

das ist eine Verkettung von Funktionen, das heißt man könnte es hier über Integration durch

Substitution nachdenken, das ist sicherlich eine schlaue Idee, das hier ist sozusagen eine Einheit,

die nennen wir jetzt einfach mal y, das heißt y ist gleich 5x plus 2. Jetzt wird das Differential

nachdenken, das wird so, dass wir das y ableiten nach x, also y-Strich sozusagen, das ist 5 mit

anderen Worten, dx ist gleich dy durch 5. Das heißt, das können wir jetzt hier so einsetzen,

dann steht hier y hoch 9, dx ist dy durch 5, natürlich muss man am Schluss dran denken,

dass wir die Rückstöße substituieren, also y ist gleich 5x plus 2. Das integrieren ist leicht,

also das jetzt hier y hoch 10 und richtige Konstante davor ist ein Fünftzigstel,

jetzt noch wieder rückstöße substituieren und wir bekommen ein Fünftzigstel 5x plus 2 hoch 10 plus c.

okay, C

so haben wir Cursus von x mal Sinus von x zum Quadrat jetzt was machen wir hier

hier bietet sich Partialintegration an also man kann ja so ein bisschen rumprobieren was man

machen möchte man könnte eventuell auch Substitution machen aber wir machen es einfach mal

Partialintegration jetzt müssen wir uns überlegen was von beidem es leichter abzuleiten was ist

leichter zu integrieren also wenn wir so ein Sinus von x zum Quadrat das ist nicht super leicht

zu integrieren also nennen wir das mal u und das andere ist dass wir integrieren können das nennen

wir V-Strich das heißt kurz nebeneinrechnung machen V von x ist dann Sinus von x natürlich

plus C eventuell aber das müssen wir erst am Schluss hinschreiben und u Strich von x ist 2 mal

Sinus von x mal Cosinus von x das ist also jetzt V mal u, ja V mal u ist Sinus von x mal jetzt u Sinus von x zum Quadrat

minus integral V mal u Strich V ist Sinus von x mal 2 Sinus von x mal Cosinus von x dx und jetzt sehen wir

aha diese integral ist gleiche integral wie das wir mit mir angefangen haben also Cosinus von x mal Sinus von x Quadrat

mit einer 2 davor, jetzt bringen wir das auf die andere Seite das heißt 3 mal diese integral

wird das uns interessieren ist Sinus von x hoch 3 plus C, ja das plus C können wir noch sparen

noch mal ganz am Schluss hin, ja ok ich machs lieber gleich jetzt hin, also müssen wir nur noch durch 3 dividieren

ja das heißt integral Cosinus x mal Sinus von x Quadrat dx ist ein Drittel Sinus von x hoch 3 plus C

ist die erste Aufgabe integral x mal e hoch minus x Quadrat, wie geht man jetzt daran, ja wir gucken uns immer diese Funktionen an

hier davor kommen und überlegen uns ein bisschen was passiert wenn wir irgendwas ableiten, wenn wir wissen was wir

ableiten, dann könnte erraten was passiert, ja zum Beispiel diese Funktion hier ableiten, e hoch minus x Quadrat

abgeleitet das ist e hoch minus x Quadrat mal minus 2 x, dieses minus 2 ist nur eine Konstante, das heißt x mal e hoch minus x Quadrat

ist die Ableitung von etwas von der Form hier, das heißt wir erkennen aha das können wir diese Form pressen

ja jetzt müssen wir das hier sozusagen mit multiplizieren von Konstanten in diese Form bringen, also das ist sozusagen nur so eine Vorüberlegung

wie wir hier machen

und jetzt wissen wir, na das ist gleich e hoch minus x Quadrat abgeleitet, das heißt das was hier drin steht ist die Stammfunktion von integral

also ist das jetzt hier minus ein halb mal e hoch minus x Quadrat plus c

auf körper e, integral x plus 1 mal e hoch minus x dx

der Trick von gerade eben funktioniert nicht so richtig, weil wenn wir jetzt diese Experimentalfunktion ableiten, dann kommt kein zusätzliches Polynom raus

so wie es hier passiert ist, also das klappt jetzt hier nicht, aber Partialintegration kann ja was bringen, die Idee hier ist wenn wir