Hallo und herzlich willkommen zu diesem Vorlesungsvideo Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben uns letzte Woche mit Lebesque-Inhalten bzw. mit dem Jordan-Inhalt beschäftigt.

Wir haben viel gemacht mit Quadern auf dem Weg zum Lebesque-Mass und wir sind dann einmal

falsch abgebogen mit der Jordan-Messbarkeit und haben gesehen, dass diese naive Art und

Weise mit den oberen und unteren Summen einfach wieder zum Riemann-Integral führt.

Und deshalb wollen wir heute endlich das Fertigmachen hinwollen, nämlich ein zielkommendes Lebesque-Integral

definieren.

Ok, das Ziel der heutigen Vorlesung wird es sein bzw. das Thema ist das Lebesque-Integral.

Der erste Schritt ist uns einen Satz anzuschauen, der wieder mit Quadern hantiert.

Der Satz wurde von Lebesque höchstpersönlich so benutzt bzw. bewiesen.

Der Satz sagt das Folgende, es sei Q und QK halboffene Quadern

für Kelement n.

Also Q bleibt fest, das hier ist eine Folge von halboffenen Quadern, mit Q Teilmenge im

Grenzwert.

K gleich 1 ist ein Endlich QK.

Also Situation, wir haben hier einen halboffenen Quader Q und wir haben hier eine Folge von

QKs, die dann im Limit in der Vereinigung überdecken.

Ok, und was soll dann gelten?

Dann gilt, dass λn von Q, darauf ist es definiert, kein Problem, ist kleinergleich

als die Summe über K gleich 1 bis unendlich λn von QK.

Wenn wir das vergleichen mit dem von letzter Woche, ist die Situation ein bisschen anders.

Bei der Aussage, die wir letzte Woche hatten, hat man hier drüben eine Summe stehen.

Aber jetzt wollen wir praktisch zeigen, dass wenn unser fixes Q von innen kommt und es

überdeckt wird von unendlich vielen, von dieser Vereinigung wissen wir auch nicht wieder,

dass die in dem Mengenring drin ist.

Also es ist nicht so leicht, es ist wirklich was echt anderes.

Aber das wollen wir trotzdem zeigen.

Und die Idee wird sein, die Idee ist das folgende, wir werden die Menge Q ein bisschen kleiner

machen, damit wir hier einen kompakten Quader reinlegen können.

Wohingegen wir die ganzen Mengen QKs werden wir ein bisschen größer machen.

Damit wir da offene Mengen als Obermengen haben und dann haben wir uns eine offene Überdeckung

von einer kompakten Menge definiert.

Und da können wir dann mit Heine-Borel, den Satz, den wir hier zwischendrin benutzen und

ansprechen, eine endliche Teilüberdeckung auswählen.

Das ist die Idee hier.

Ok, jetzt zum Beweis.

Wir fangen an mit, es sei, Epsilon größer Null.

Dann oder wähle, dann wähle.

Und wie gesagt, wir wollen jetzt den fixen Quader Q ein bisschen kleiner machen.

Also wähle für Q, der lässt sich hier schreiben als A, B.

Und für den wollen wir wählen, A, Ae, Be, B.

Also wir legen praktisch in diesen Quader, in diesen Quader Q, legen wir hier einen kleinen

Epsilon-Quader rein, der ein Stückchen kleiner ist.

Den Quader Qe, gleich Ae, Be, und so dass, nachdem wir die Seitenlängen konkret charakterisieren

können, können wir auch ganz explizit festlegen, wie viel kleiner der sein soll.

Und in dem Fall will ich, dass Lambda N von Qe kleiner gleich ist, bzw. will ich charakterisieren,

wie viel Abstand der hat.

Also es soll immer noch größer gleich Lambda N von Q plus Epsilon sein.

Also der ist kleiner, minus Epsilon muss ich hier machen.

Also der ist kleiner, dieser Qe Quader, aber ich kann auch festlegen, wie viel kleiner