Das nächste Thema sind uneingegnliche Riemann-Integrale.

Bisher waren Riemann-Integrale immer Funktionen, die so aussahen, auf einem beschränkten Intervall.

Aber was uns interessiert ist, können wir vielleicht auch so was machen, wie wir integrieren eine Funktion, die unbeschränkt wird, also hier eine Asymptote hat.

Oder können wir auch eine Funktion integrieren bis unendlich. Das sind die beiden Verallgemeinerungen, die wir uns anschauen wollen.

In dem Framework vom letzten Mal können wir das anders nicht machen. Wir können unbeschränkte Interzierungsgebiete oder integrierte Integranten nicht einfach so hinschreiben in Riemann-Summen, weil die Ober- und Unter-Summen nicht mehr so einfach zu definieren sind.

Aber wir können es so verallgemeinert hinschreiben, dass wir es wie immer als ein Grenzbild auffassen. Das heißt, wenn wir jetzt in einem Fall sind, wo die Funktion weiterhin beschränkt ist, aber der Integrationsbereich unbeschränkt ist, also wo wir eigentlich so was machen wollen, von A bis unendlich integriert, also sozusagen eine Funktion von A bis unendlich durch integrieren.

Dann definieren wir dieses unheimliche Riemann-Tegral als den Grenzwert des Integrales von A bis B, wobei B aber nicht unendlich geht.

Wenn diese Grenze existiert und wenn er unendlich ist, dann sagen wir, ist das hier das Riemann-Tegral. Beides kann schiefgehen.

Dieser Grenzwert kann existieren, aber unendlich groß sein, dann sagen wir, da gibt es dieses Integral nicht. Oder es kann auch sein, dass der Grenzwert einfach nicht existiert, weil er hin und her auszuliefert.

Und genauso können wir auch von minus unendlich bis B integrieren, da schicken wir die linke Grenze und die untere Grenze gegen minus unendlich.

Wenn wir beides gegen unendlich schicken, dann definieren wir das als die Summe von dieser Unterteilung, wo wir von A bis M und von M bis B integrieren.

Und hier die untere Grenze und hier die obere Grenze gegen minus unendlich und plus unendlich schicken.

Wenn beide Grenzwerte existieren, dann nennen wir diese Summe hier das unheimliche Riemann-Tegral von dieser Form.

Also hier nicht, limas, R geht gegen unendlich von minus R bis R von x dx.

Warum? Das werden wir am Schluss noch sehen.

Welches M wir jetzt hier nehmen ist egal. Wir wissen, wir können, zum Beispiel wenn wir nicht bis M gehen, sondern bis 17,

dann können wir auch von A bis 17 integrieren, von 17 bis B. Wir können diesen Teil zwischen M und 17 hin und her schieben,

zwischen diesen beiden Tegralen, wenn wir wollen. Das ist egal, welches M wir hier wählen, das hängt davon nicht ab.

Aber wir müssen beide Grenzwerte unabhängig voneinander testen und dürfen nicht einfach beide Grenzen gleichzeitig gegen unendlich gehen lassen.

So kann man also auf einem unbeschränkten Integrationsbereich ein Riemann-Tegral definieren als unheimliches Riemann-Tegral.

Dann noch mal visuell.

Wir haben sozusagen diese Funktion hier. Hier ist A und hier ist B und die Funktion geht aber weiter.

Und wir schieben diese Grenze hier, hier gegen plus unendlich.

Ähnlich geht man vor, wenn man zwar weiterhin einen beschränkten Integrationsbereich hat, aber einen unbeschränkten Integrant.

Also jetzt so eine Funktion, die geht hier irgendwie gegen plus unendlich für x gegen b.

Und jetzt, wie definiert man das? Die Funktion ist ja nicht stetig oder beschränkt auf dem ganzen Gebiet.

Was man jetzt macht ist, man geht bis b minus Epsilon, schaut sich da das Integral an und dann lässt man b minus Epsilon gegen b laufen, also Epsilon gegen Null.

Und wenn diese Grenze existiert und unendlich ist, dann nennen wir das das uneigentliche Integral von a bis b von f von x, auch wenn eigentlich f von b problematisch ist.

Weil es unendlich groß ist. Jetzt denken wir natürlich, ja okay, aber kann das überhaupt sein?

Also wenn der Grenzwert von f von x gegen x gegen b unendlich groß ist, kann dann dieses Integral überhaupt auch unendlich sein?

Und ja, das kann sein. Das hängt von der Funktion ab.

Genauso eben mit der linken Grenze, also wenn man hier so aussieht, hier bei a bis b, dann schickt man diese Grenze hier gegen a.

Genauso. Und wenn beide Grenzen problematisch sind, a und b, dann macht man es auch genauso wie in jedem Fall des unbeschränkten Integrationsbereiches.

Man zerteilt dieses Integral, da aber die untere Grenze problematisch ist und die obere Grenze aber einfach nur ein ganz normaler Wert.

Und andersherum normaler Wert und obere Grenze ist problematisch und macht den Grenzwert für Epsilon gegen Null von beiden Integralteilen hier.

Wenn beide Grenzwerte existieren und unendlich groß sind, dann nennt man das was rauskommt, das uneigentliche Riemannintegral von diesem Typ hier.

Jetzt kann natürlich alles mögliche kombiniert werden. Wir könnten auch einen Integrationsbereich haben, wo die Funktion am linken Rand unbeschränkt wird und der rechte Rand aber unendlich weit weg ist.

Also wo wir ein unbeschränktes Integrationsgebiet haben und einen unbeschränkten Integranten an der einen Grenze, zum Beispiel diese Kombination oder diese Kombination.

Und auch da macht man wieder jetzt hier die Unterteilung. Also konkret ist in dem Fall, wenn lima x von oben gegen a f von x gleich plus unendlich ist.

Dann ist es unendlich integral von a bis unendlich f von x dx. Wie sieht das aus? Also die Funktion bei a, die ist irgendwie unendlich groß.

Und dann wollen wir die aber auch unendlich lange integrieren sozusagen. Dann machen wir hier irgendwie so ein m, da ist das der Grenzwert von epsilon geht gegen 0 von a plus epsilon bis irgendein m.

Plus den Grenzwert von r geht gegen unendlich von m bis r von f von x dx, falls beide Grenzwerte existieren.

Und dazu machen wir noch mal ein Beispiel. Nämlich wir wollen gerne die Funktion 1 durch x hoch alpha integrieren und zwar auf den Integrationsbereich i und zwar in drei Fällen.

Erstens, wenn, ja ich mache am besten ein Bild dazu, ja, also wie sieht die Funktion aus? Die sehen alle grob so aus, ja ganz grob.

Wir schauen uns nur positive Werte an, also was hier drüben passiert ist uns egal. Die gehen alle, also limas von 1 durch x hoch alpha für x geht von oben gegen 0, ist auf jeden Fall plus unendlich.

Egal ob jetzt alpha nah bei 0 weg ist oder weit weg ist und der limas x geht gegen plus unendlich von 1 durch x hoch alpha ist immer 0. Okay, soweit klar, weil alpha größer als 0 ist, ja das ist sozusagen der Grund.

Die sehen also alle irgendwie so aus, die sind auch alle so, ich sag mal, kondex. Die Frage ist jetzt, welche unheimlichen Integrale, ja, welche Integrale haben wir?

Erstens von a bis unendlich, zweitens von 0 bis irgendwie so ein b, egal was jetzt b ist, genau und schließlich noch das Integral auf ganz r plus.

Also das ist jetzt c, ja das ist b und das ist a.

Das ist ganz grob, das Vorbemerkung für den Fall a, wann haben wir eine Chance, dass das Integral hier rüber endlich groß ist und nicht unendlich groß ist, da muss irgendwie das Abklinkverhalten der Funktion für x nun endlich schnell genug sein. Das muss schnell genug sehr nah an die x-Achse gehen, dann ist diese Fläche hier endlich groß.