Hallo, wir starten mit den Präsentaufgaben von Lab C.

Die erste Aufgabe ist, hier diese Integral zu bestimmen, dieses Unbestimmte Integral.

Und das Thema von diesem Aufgabenblock ist natürlich die Parzialaufzählung.

Wir haben hier so eine gebrochene Artzunehmung der Funktion, also im Zähler ein Polynom

und im Däher ein Polynom.

Und solche Funktionen, die kann man integrieren über die Parzialaufzählung.

Also der Erdbeutel mittels Parzialbruchzerlegung.

Der erste Schritt ist, der Zählergrad ist gleich 4 und das größer als der Nennergrad,

der 3 ist.

Zuerst müssen wir den ganzen Teil abspalten.

Und zwar mit einer Polynomdivision.

Wir starten also mit x auf 4 geteilt durch x auf 3 plus x² minus 5x plus 3.

Die Polynomdivision geht ja so, wir schauen uns die Höchstpotenz hier an und die Höchstpotenz

da und teilen diesen Term durch diesen Term, dabei übrig eine Potenz von x.

x auf 4 und x auf 3 ist gleich x.

Und jetzt müssen wir das Produkt von dem, was hier steht, was wir jetzt gerade ausgerichtet

haben, mit der ganzen Klammer hier abziehen.

x mal x auf 3 ist x auf 4.

x mal x² ist x auf 3.

x mal minus 5x ist minus 5x² und x mal 3 ist 3x.

Übrig bleibt es also, x auf 4 minus dieser ganze Term in der Klammer hier, x auf 4 ist

x auf 4 von den Becken, also nur nach x auf 4, ist dann wieder minus x auf 3 plus 5x²

minus 3x, da bleibt ein Minus hier davor.

Jetzt geht es hier weiter, minus x auf 3 durch x auf 3 ist minus 1.

Das ziehen wir wieder ab, minus 1 mal die Klammer, minus 1 mal x auf 3 ist minus x auf 3,

minus 1 mal x² ist minus x², minus 1 mal minus 5x ist plus 5x, minus 1 mal 3 ist minus 3.

Das jetzt abziehen, das da fällt weg.

5x² minus minus x² ist 6x², minus 3x minus 5x ist minus 8x, minus 3x ist plus 3.

Also, haben wir es dargestellt, x auf 4 durch x auf 3 plus x² minus 5x plus 3 ist gleich

x minus 1, das ist der ganze Teil, plus 6x² minus 8x plus 3, geteilt durch, immer auf dem

Buch x auf 3 plus x² minus 5x plus 3.

Das heißt, anstatt diese Funktion zu integrieren, müssen wir jetzt diese ganze rechte Seite

integrieren.

Der ganze Teil ist sehr einfach, weil es ein Polynom ist, und der Teil ist jetzt an der

gebrochenen Aktion eine Funktion, wo der Zählergrad kleiner als der Lernergrad ist.

Das heißt, das ist hier ein bisschen einfacher.

Wie integrieren wir diese Funktion?

Dazu brauchen wir den nächsten Schritt, Nullstellen des Lenners.

Das ist eine kubische Funktion, also ein Polynom mit Höchstpotenz 3.

Da gibt es theoretisch Formen, die ich mir nicht merken kann.

Das heißt, wir raten einfach mal ein bisschen herum und schauen, ob wir eine Nullstelle finden.

Die Beispiele, die ich Ihnen geben werde, haben immer mindestens eine ratbare Nullstelle.

Und hier fangen wir doch mal an, Null passt nicht, weil da bleibt 3 übrig.

Wenn man 1 einsetzt, 1 plus 1 minus 5 plus 3, das ist tatsächlich 0.

Also x1 gleich 1 geraten.

Eingesetzt und tatsächlich ist es gleich 0.

Die anderen Nullstellen finden wir jetzt draußen, indem wir das da durch den Linearfaktor x

minus x1 dividieren und dann auf den Rest die Quadratenformen anwenden.

Also machen wir es mal, Polynomdivision, x auf 3 plus x² minus 5x plus 3.

Das faktorisieren wir jetzt durch x minus x1, also x minus 1.