Hallo, wir machen weiter mit Folgen im R hoch N.

Wir haben schon besprochen, dass wir jetzt ein paar Dinge verallgemeinern müssen, die wir aus dem einen

System R schon kennen, die wir aber auch brauchen, um dann über Städigkeit von Funktionen zu sprechen,

oder über Vertitionshäbarkeit. Und wir erinnern uns daran, dass eine Folge jetzt in C oder in R,

es ist egal wie man in C funktioniert, aber in R natürlich genauso. Und eine Folge hat einen Grenzwert a,

wenn dieses Epsilon-Keterium gilt, also wenn für jeden noch so kleinen Abstand Epsilon ein Index n0

existiert, der von Epsilon abhängen darf, sodass für alle n nach diesem Index der Abstand von a n und a

kleinere Epsilon ist. Hier ist dieses a n, die folgen und die konvergieren jetzt irgendwie gegen dieses a.

1, 2 und so weiter. Und das muss keine monotonen Konvergenz sein. Es kann auch sein, dass das hier a3 ist und das a4.

Das kann auch wieder zurückspringen und so. Aber für jeden Abstand, sagen wir mal, für jeden Abstand, also Abstand Epsilon von a,

muss es einen N0 geben. Also einen letzten Zeitpunkt N0, sodass die Folge nach diesem N0 immer in diesem Epsilon-Ball bleibt.

Also Epsilon-Ball in einer Dimension ist es einfach nur ein Intervall um a herum.

In dem Fall zum Beispiel für dieses Epsilon, N0 von Epsilon ist jetzt einfach gleich 3.

In der Sehung für alle N größer als 3 bleibt die Folge in diesem grünen Bereich drin.

Und wenn wir ein kleineres Epsilon nehmen, dann machen wir noch mal was schwierigeres.

Nehmen wir dieses Epsilon hier, nehmen wir das mal Epsilon-Strich. Also a3 drüben. a3 ist in diesem blauen Ball hier drin,

diesen blauen Intervall. a4 springt aber wieder raus, das heißt a3 war noch nicht spät genug sozusagen.

Aber dann springt es hier wieder rein, a5, und ich sage es einfach mal, es bleibt jetzt hier drin.

Und dann wäre N0 von Epsilon-Strich gleich 5. Und so geht es weiter.

Man kann sozusagen für jede noch so kleine Umgebung um a, muss man einen N0 finden können, sodass die Folge für immer in dieser Umgebung umlappt.

So haben wir Konvergenz von reellwertigen oder komplexwertigen Folgen definiert.

Und der kritische Punkt hier, oder das was wir hier gebraucht haben, ist ein Abstandsbegriff zwischen reellen oder komplexen Zahlen.

Und der Abstandsbegriff ist der Betrag.

Oder besser gesagt etwas minus etwas zum Betrag.

Und diesen Abstand haben wir also gemessen durch x-xn oder a-an. Und der sollte kleinwerke Epsilon sein.

Wie schaffen wir es jetzt, das hier auf den Rn zu übertragen?

Das ist hier so ein a1, a2, a3, a4. Das springt hier sozusagen so rüber, das ist die Folge, die läuft hier so rum.

Wie könnten wir das hier verallgemeinern, auf dem Fall, dass diese Folge hier gegen a konvergiert?

Was würde das bedeuten? Und natürlich brauchen wir dann sowas wie ein Abstandsbegriff zwischen vollen Liefern und dem Grenzwert.

In allen Dimensionen haben wir den Betrag genutzt. Und der Betrag in R oder in C hat diese Einschaffung, dass immer größer gleich Null ist.

Wenn ihr gleich Null Los kommt, dass dasボus eingesetzt schon nach Null oder dann R oder C Europe ist.

Das 각gezogene Vorbereitungen in Alten reality Zahl betraglich doch whipped aus massivem versch

dass wenn er gleich null ist, dann das was eingesetzt ist, schon gleich null ist, also ein R oder ein C, das ist völlig egal, dass wir reelle Zahlen

alpha

betraglich rausziehen können und das für Summen die Dreizehnwerke gilt.

Und

damit können wir jetzt einen Wunschzettel

vorgeben

für einen Abstandsbegriff, der auch in höheren Dimensionen funktioniert.

Und zwar soll er einfach genau die gleichen Dinge tun können, aber jetzt als Abbildung auf einem

R-Vektorraum. Warum R-Vektorraum? Was ist das damit zu tun?

Also R3 ist

zum Beispiel

ein R-Vektorraum.

R3 oder jeder R hoch R.

Und welche Eigenschaften hat das? Erstens, den Raum muss immer positiv sein oder größer als Null.

Wenn sie gleich Null ist, dann muss dieses X schon der Null-Vektor sein, also das Null-Element in diesem Vektorraum.

Jetzt hier muss man ein bisschen aufpassen,

wenn wir

skalage Alpha aus R, wobei dieses R,