So, guten Morgen. Wir sind ja in dem Kapitel über die Fourier-Reihen und die

Fourier-Koeffizienten haben wir definiert. Da gab es eine reelle Darstellung und

eine komplexe Darstellung zur Wiederholung. Nochmal die komplexe Darstellung.

Da hießen ja die Fourier-Koeffizienten Ck und in der komplexen Form sind die 1

durch 2 Pi Integral von 0 bis 2 Pi e hoch minus ikx mal f von x dx und hier läuft

das k von minus n bis n bei der Entenpartialsumme.

Die Entenpartialsumme, die haben wir Sn von x genannt, die ist die Summe von k

gleich minus n bis n Ck mal e hoch ikx. Das ist so ein trigonometrisches

Polynom und wir wollten jetzt zeigen, dass die Folge der Partialsumme im

quadratischen Mittel konvergent ist gegen die dazugehörige Funktion, wenn die

hinreichend regulär ist. Wir haben ja über diese Funktion Menge R gesprochen.

Die Elemente sind Riemann integrierbare Funktionen, die 2 Pi periodisch sind.

Diese Partialsumme sind ja 2 Pi periodisch, deshalb kann man damit auch

nur 2 Pi periodische Funktionen abproximieren. Also was wollen wir zeigen?

Wenn wir eine Funktion f aus unserer Klasse R haben, dann folgt die

Konvergenz der Partialsumme im quadratischen Mittel gegen die Funktion.

Also nach Definition heißt das der Grenzwert limes für n gegen unendlich,

Integral von 0 bis 2 Pi vom Betrag von f minus Sn von x zum Quadrat dx

integriert ist gleich 0. Also dieses Quadrat hier misst einen Abstand, wo

durch die Integration über das Intervall von 0 bis 2 Pi die Differenzen

aufsummiert werden, das Integral ist ja eine Art Summe und in dem Sinne sollen

diese Folie rein gegen die Funktionswerte konvergent sein.

Und diesen Satz über die quadratische Konvergenz wollen wir beweisen aufbauend

auf dem Entwicklungssatz, den wir schon gesehen haben und in dem

Entwicklungssatz gab es eine Gleichung, die Parseval-Gleichung und im Satz

folgte daraus, dass diese Konvergenz im quadratischen Mittel genau dann gilt, wenn

die Parseval-Gleichung erfüllt ist. Also nach unserem Entwicklungssatz

genügt es zu zeigen, dass die Parseval-Gleichung gilt.

Ich zeige also dazu nur die Parseval-Gleichung.

Und die sagte, wenn ich die Reihe der Ck-Betrag zum Quadrat bilde, dann kommt

da auch die Quadratnorm der Funktion heraus, also die Summe von k gleich

minusunendlich bis unendlich der Beträge der Ck zum Quadrat. Das ist eine

unendliche Reihe. Das kennen Sie ja, im Prinzip werden unendlich viele Zahlen

aufsummiert und das ist das Gleiche wie das Integral über die Funktionswerte

zum Quadrat, also 1 durch 2 Pi, Integral von 0 bis 2 Pi, Betrag f von x Quadrat t x.

Und dahinter steckt natürlich die Definition der Ck, die sind ja wiederum

selbst als Integrale definiert. Und hier, dieser rechte Seite, haben wir auch als

Norm von f zum Quadrat betrachtet. Wir hatten ein Skalarprodukt definiert,

zwischen Funktionen auf R und hier diese Norm, also diese Doppelstriche sind die

allgemeinen Striche für die Normen, da gibt es verschiedene. Und bei uns ist das

jetzt diese quadratische Norm mit dem Faktor 1 durch 2 Pi noch dazudr davor.

Also das ist das Quadrat der Norm. Wenn Sie die Wurzel daraus ziehen, kriegen Sie

die Norm heraus. Das können Sie sich so ähnlich vorstellen wie dem Betrag der

Funktion, also man misst die Größe der Funktion, aber dafür muss man ja

alle Werte auf dem ganzen Intervall von 0 bis 2 Pi in Betracht ziehen und das

macht man hier durch Integration, also man summiert die auf. Und das ist jetzt

unser Ziel zu zeigen, dass für Funktionen f aus R diese Gleichung gilt.

Das hat etwas mit unendlichen Reihen zu tun und mit Sinus und Cosinus und

deshalb brauchen wir ein paar Hilfsätze, bevor wir in den Beweis einsteigen

können. Sie erinnern sich ja noch an die Definition des Riemann Integrals.