Diese Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, ich begrüße Sie zu unserer Vorlesung. Wir haben ja bisher in diesem Semester über

Volumenintegrale gesprochen. Im ersten Semester davor haben wir Integrale über Intervalle

betrachtet und das haben wir jetzt auf einen mehrdimensionalen Integrationsbereich verallgemeinert

und da sind wir bis zur Substitutionsregel gekommen.

In dieser Vorlesung geht es um Wegintegrale,

das ist auch eine Verallgemeinerung des eindimensionalen Falls auf den R hoch N.

Aber diesmal wird zunächst von dem Intervall ausgehend eine Raumkurve betrachtet.

Sie haben irgendein Insekt zum Beispiel, das durch den Raum fliegt

und das legt dabei ja irgendeinen Weg zurück.

Hier würde es immer auf der Tafel fliegen, also vielleicht eher ein Käfer.

Der hat eine Bahn und das ist eine Abbildung vom R hoch 1,

also von einem Intervall aus, einem Zeitintervall in den R hoch N.

Und so etwas nennt man einen Weg.

Darüber werden wir heute sprechen.

Da gibt es verschiedene Fragen.

Zunächst die Frage nach der Weglänge.

Also wie lang ist dann das Stück von dem Punkt zu dem Punkt auf dem Weg?

Diese Wege sind ja krumm, deshalb muss man sich überlegen, wie man die Weglängen berechnen kann.

Oft müssen sie auch Arbeit verrichten, um einen Weg zurückzulegen.

Zum Beispiel, wenn sie irgendeinen Stein, eine Treppe hoch tragen, dann müssen sie Arbeit verrichten.

Und diese Arbeit hängt ab von dem Kraftfeld, in dem sie sich bewegen und von dem Weg, den sie nehmen.

Und die Arbeit kann man dann als Weg integral ausrechnen.

Wenn dieses Kraftfeld eine bestimmte Struktur ist, hat nämlich ein Potentialfeld ist,

dann kann man dieses Weg integral besonders einfach ausrechnen.

Das kennen Sie bestimmt schon aus der Mechanik und das werden wir dann auch hier von der mathematischen Seite aus betrachten.

Aber fangen wir mal an.

Das Kapitel heißt Wege im R hoch N.

Dazu müssen wir zunächst einmal definieren, was ein Weg ist.

Die Punkte des Weges liegen also im R hoch N und man kann sich vorstellen, dass der Weg in einer Zeit zurückgelegt wird.

In dem Weg sollen auch keine Sprünge drin sein, sondern das soll durch eine stetige Kurve gegeben sein.

Und das ist auch genau unsere Definition.

Der Weg ist eine stetige Abbildung von einem Intervall in den R hoch N.

Definition, eine stetige Abbildung x von a b, das ist unser Intervall in den R hoch N.

Das ist der Punkt, der Raum, in dem sich dieses Objekt bewegt, also zum Beispiel der R hoch 3,

wenn Sie an die Erde denken und unsere Umwelt.

Diese Abbildung heißt ein Weg.

Und das kürzen wir oft mit W ab, also die Wege heißen häufig groß W.

Und das sind Wege im R hoch N.

Wir könnten das natürlich auch erst einmal im R hoch 2 oder im R hoch 3 betrachten,

aber hier werden wir direkt die N-dimensionale Theorie darstellen.

Wenn Sie so einen Weg haben, gibt es Punkte, die durchlaufen werden, die der Weg durchläuft.

Und diese Punkte bilden zusammen etwas, was man Kurve nennt.

Also die Menge der Punkte, die vom Weg durchlaufen werden, heißt Kurve.

Die Menge groß K, die Kurve aller Punkte groß x von t.

x von t ist ja im R hoch N, hat also N Komponenten x1 von t bis xn von t transponiert,

wobei das t, unser Parameterintervall a b durchläuft, heißt Kurve im R hoch N.

Was Sie hier an der Tafel in unserer Beispielskizze sehen, ist also eine Kurve.

Diese Kurve kann jetzt mit verschiedenen Geschwindigkeiten durchlaufen werden,

also zum Beispiel sehr langsam oder sehr schnell.