Ja, willkommen zurück zur Medizintechnik 2. Das ist jetzt der letzte Teil unserer Systemtheorie-Vorlesung

und wir wollen uns heute noch mal ein bisschen mit Sampling beschäftigen.

Hier Sampling, um was geht es? Also letzter Teil, es geht natürlich um die Abtastung von einem Signal.

Wir wollen also jetzt ein kontinuierliches Signal in den Rechner transformieren.

Nun, wie passiert das? Naja, also ich muss jetzt quasi diskret an einzelnen Stellen abtasten.

So, jetzt stellt sich die Frage, ja wo taste ich denn jetzt ab? Wie häufig taste ich denn ab?

Und da hilft uns jetzt die ganze Systemtheorie, die wir gesehen haben und die lässt sich jetzt

wirklich nutzen, um eindeutig zu sagen, wie häufig ich abtasten möchte. Ich muss also

diese Abtastrate bestimmen. Ich muss quasi angeben, wie oft ich mir ein Wert merken muss,

damit ich dieses Signal vollständig und ohne Verlust im Rechner speichern kann.

Ja und dazu gibt es das sogenannte Sampling-Theoreen. Das beschäftigt sich jetzt quasi damit,

wie ich jetzt so ein Signal abtasten kann, ohne dass ich irgendwas kaputt mache und das

wirklich vollständig darstellen kann und im Zweifelsfall dann auch wieder in die kontinuierliche

Welt, aus dem Diskreten, also aus dem Computer wieder in die kontinuierliche, in die echte Welt

bringen kann, ohne dass ich was verloren habe. Und das sagt uns das Abtasttheorie. Und tatsächlich

ist das eigentlich relativ einfach zu verstehen, weil wir uns ja schon darüber unterhalten haben,

dass so ein Signal im Idealfall eine maximale Frequenz hat. Diese maximalen Frequenzen gibt

es auch und zwar können wir diese maximalen Frequenzen ermitteln, nämlich an uns. Das Limit,

das uns diese Bandbeschränkungen bringt, das liegt an der Limitiertheit von uns Menschen.

Menschen hören bis 22 Kilohertz. Kein schnelleres Signal kann von einem Menschen wahrgenommen werden.

Und wenn wir jetzt tatsächlich Kurven hätten, die wir falsch abtasten, dann würde so genanntes

Aliasing entstehen. Also wenn ich zum Beispiel eine Sinus Kurve hier abtasten möchte und die

rote Kurve ist die, die ich tatsächlich abtasten möchte und ich aber jetzt nur an den schwarzen

Stellen immer hineingreife, also die falsche Abtastfrequenz, die falsche Abtastrate wähle,

dann passiert das folgende. Ich kriege die schwarzen Punkte und wenn ich jetzt versuche die

schwarzen Punkte wieder in eine Sinus Kurve zu übersetzen, kriege ich plötzlich die blaue

gestrichelte Linie und das ist natürlich die völlig falsche Frequenz. Nun, wo kommt das her?

Naja, wir haben die falsche Abtastfrequenz. Tritt das jetzt nur mit solchen Sinus Kurven auf? Nee,

wir können sowas auch relativ gut visualisieren. Und was wahrscheinlich jeder von euch schon mal

beobachtet hat, ist eine rotierende Scheibe, die ein entsprechendes Muster draufgezeichnet hat. Zum

Beispiel kann man es auch sehr gut an Rädern sehen, die rotieren. Bis zu einer gewissen

Geschwindigkeit drehen die sich immer schneller und immer schneller und immer schneller und

irgendwann drehen sie sich schneller als unsere Wahrnehmung möglich ist das aufzulösen und dann

passiert etwas ganz verrücktes. Scheinbar dreht sich das Rad rückwärts. Naja, das Rad dreht sich

natürlich nicht rückwärts, sondern es ist nur noch schneller geworden, aber wir kommen mit der

Abtastrate nicht mehr hinterher. Das heißt wir kriegen eine Frequenz, die wir nicht gewohnt sind,

die wir nicht erfassen können und wir rekonstruieren dann einfach eine völlig falsche Frequenz und das

ist genau das alles, dass wir hier in diesen beiden Kurven sehen. So, also wie vermeide ich das? Naja,

wir tasten halt mit allen Frequenzen ab, die entsprechend notwendig sind. Und was sagt uns

was notwendig ist? Dafür gibt es Gott sei Dank das sogenannte Nyquist Shannon Sampling Theorem. Das

ist etwas, was ihr, wenn ich euch nachts wecke, muss das kommen. Wie hoch muss die Abtastrate sein?

Ja, die Abtastrate muss doppelt so hoch sein wie die höchste Frequenz im Signal. Weil, wenn ich

quasi zweimal reingreife und eine Sinus Kurve habe und ich quasi innerhalb von einer Wellenlänge

dieser Sinus Kurve zweimal reingreife, dann kann ich garantiert auch die richtige Sinusfrequenz

rekonstruieren. Das ist Nyquist Shannon. Kann man auch ein bisschen ausführlicher und auch deutlich

mathematischer herleiten, dass das tatsächlich so ist. Für uns praktisch ergibt sich, dass sich

dann damit Abtastfrequenzen bestimmen lassen, die eben uns eindeutig und verlustfrei Signale für

unsere menschliche Perzeption digitalisieren lassen. Als Menschen hören wir bis zu 22 Kilohertz

und wenn ihr vielleicht erinnert ihr euch noch dran als ihr kleine Kinder wart, haben die Leute

noch so silberne Scheiben hier, solche Dinger hier benutzt. Da konnte man digital Musik verlustfrei