Schönen guten Tag, meine Damen und Herren.

Wir hatten ja beim letzten Mal angefangen, den Balken noch mal herzuleiten.

Das wollen wir hier ganz kurz zu Ende bringen.

Also wir waren stehen geblieben beim Schub der Balken und hatten dann festgestellt,

dass man aus der Integration der Spannung oder zunächst einmal, dass man aus den kinematischen

Bedingungen, die wir gefordert haben, nämlich insbesondere, dass die Querschnitte eben und

senkrecht auf der Mittellinie bleiben, als Ergebnis durch einfaches Einsetzen das Stoffgesetz

bekommen, dass es keine Schubspannung gibt. Es gab bloß das Sigma X, also eine Spannung

in Längsrichtung. Wenn ich die integriere, würde ich eine Normalkraft bekommen. Wenn ich noch eine

U-Verschiebung vorgebe, haben wir nicht gemacht. Wir bekommen das Moment und die Integration über

die Schubspannung liefert die Querkraft, die war aber null. Das heißt, die Theorie, die Euler-Bernoulli-Theorie

ist tatsächlich nur exakt diese Annahmen für querkraftfreie, wie man sagt, reine Biegung,

nur für konstantes Moment. Wir haben aber sozusagen in der technischen Mechanik, in der

Elastostatik zumindest motiviert, dass man diese Theorie für schlanke Balken auch verwenden kann,

wenn ich Querkraft habe und damit auch ein veränderliches Moment, dass die Formeln

näherungsweise gelten. Man muss dann aber die Querkraft nachträglich aus dem Gleichgewicht

am Balken-Element wieder einführen, da sie nicht aus dem Stoffgesetz folgt. Und das war

im letzten Mal irgendwie stehen geblieben. Wir hatten so ein kleines Balken-Element rausgeschnitten,

der Länge dx und dann hatten wir hier am positiven Schnittufer Q plus Q Strich dx ein Moment M plus

M Strich dx und hier das Q und hier das M und wir hatten noch eine Streckenlast da drauf, Q0. Und

dann hatten wir Summe der Kräfte in Z-Richtung, also natürlich wie üblich, das die X und das die

Z-Richtung lieferte, nachdem man das alles zusammengefasst hatte, rho a W2 gepunktet,

ist gleich Qz, also Q0 nicht Qz plus Q Strich und wir hatten hier rho i W Strich 2 gepunktet,

die Drehträgheit rho mal i mal die Winkelbeschleunigung und hier steht Q minus M Strich.

Also so weit waren wir glaube ich beim letzten Mal gekommen, das soll Q sein. So, jetzt kann man,

das entspricht im Prinzip den Gleichungen der Statik, die Sie aus der Lastostatik schon kennen,

da waren die Beschleunigungen immer 0, da stand da nämlich das Q Strich ist minus die Streckenlast

Qz und die Ableitung des Moments ist die Querkraft, also M Strich gleich Q und das war auch Summe

der Momente hier, liefert das hier. So, das kann ich ineinander einsetzen und zwar kann ich die zweite

Gleichung hier noch einmal ableiten nach X, dann bekomme ich hier das Q Strich und das setze ich

da oben ein. Daraus bekomme ich dann dgl des Balken und da steht rho mal a dann W 2 gepunktet

minus rho mal i W 2 gepunktet Strich noch mal gestrichen ist gleich M 2 gestrichen plus Qz,

also wenn ich die zweite Gleichung ableite und oben einsetze oder addiere die beiden oder abziehe

voneinander kriege ich das raus. So, jetzt kann ich M 2 gestrichen soll das sein, das sind zwei Striche hier.

Jetzt kann ich für M einsetzen des Stoffgesetzes, für das Moment hatten wir ja rausgerechnet,

dass das minus e i W 2 gestrichen ist, so dass ich hier rho a W 2 gepunktet minus rho i W 2

gepunktet Strich noch mal gestrichen ist gleich minus e i W 2 gestrichen noch mal 2 gestrichen plus Qz.

So, jetzt habe ich im Prinzip sowas wie die Naviergleichung für den Balken, ich habe alles in

dem Verschiebungsfeld W ausgedrückt. Das Q als Streckenlast ist bekannt, rho mal a, rho mal i und

e i sind irgendwelche Stoff- oder Querschnittsgeometriegrößen und die einzige Unbekannte ist die Funktion W von x und t

an der Stelle. So, das typischerweise vereinfacht man das ein bisschen, das werden wir später sehen.

Die Drehträgheit ist für einen schlanken Balken meist vernachlässigbar, das heißt, ich kann diesen

Term hier gegenüber dem vorderen typischerweise wegschmeißen und dann bleibt hier rho a W 2 gepunktet,

ist gleich minus e i W 2 gestrichen, noch mal 2 gestrichen plus Qz und wenn das e i, die

Biegesteifigkeit jetzt noch konstante ist und nicht selber von x abhängt, könnte ich die auch noch

rausziehen hier, für e i gleich konstant bekomme ich hier rho a W 2 gepunktet, ist gleich minus e i W 4

gestrichen plus Qz, beziehungsweise das, was Sie aus der Statik kennen, e i W 4 gestrichen, ist

gleich kleinen Q, wenn das W 2 gepunktet 0 ist. Das ist sozusagen der Sonderfall, der da immer rauskommt.

So, jetzt kann ich auch diese Differentialgleichung, nehmen wir mal die hier, als Matrixdarstellung

darstellen, überführen, das heißt, ich habe meinen Verschiebungsvektor u, hat nur einen einzigen