Audiobeitrag von Erlangen-Nürnberg

Vorletzte Woche im Abstieg 2.5 standen die Anwesenden.

Das Eigenwertproblem für Systeme im Zustandsformen.

Wir hatten aufgehört, als wir uns mit dem pathologischen Fall beschäftigt haben, dass der Defekt nicht gleich der Vielfachheit des Eigenwertes war.

Wir hatten die Eigenwertes-Kette und haben das Eigenwertproblem gelöst.

Wir mussten die Hauptvektoren konstruieren und bekamen eine extra Lösung in Form der Sekulargeiger.

Wir wollen uns heute anschauen, wie man die allgemeine Lösung des homogenen Schmierungsproblems mit Mikrofonen darstellt.

Wir schauen zunächst einmal den Fall 1 an.

Der Defekt ist gleich der Vielfachheit für alle Eigenwerte.

In diesem Fall haben wir die richtigen Eigenvektoren.

Ich kann die allgemeine Lösung als Linearkombination darstellen.

Das ist die Eigenlösung.

Ich kann x von t hinschreiben, als die Summe j gleich 1 bis n, also alle eigenen Werte und Vektoren, als irgendwelche Konstanten cj, mal meinen eigenen Vektor, mal die eigene Lösung e hoch lambda j, mal t.

Diese Konstanten muss man irgendwoher bekommen und man bekommt diese Konstanten durch Anpassen an die Anfangsbedingungen.

Denn es gilt, wenn es gilt, x vom 0 ist ja auch j gleich 1 bis n,

z. B. zj mal xj tilde. Wenn ich t gleich 0 einsetze, e hoch 0 ist 1, dann habe ich gerade diesen Ausdruck.

Das muss ja x0 sein. Das gibt mir gerade ein Gleichungssystem für die cj.

Das sind N Gleichungen für n unbekannte c, wenn ich das ausschreibe. Ich kann das Ganze in Matrizenschreibweise bringen, indem man Folgendes macht.

Man schreibt die Lösung etwas anders. Man sortiert das um. x von t ist Summe j gleich 1.

Dann schreibe ich hier die xj tilde e hoch lambda j t und ich schreibe die cj dahinter.

Ob ich einen Eskaladenfaktor vor- oder hinter den Vektor schreibe, ist ja egal. Dann kann ich das folgendermaßen auch als Matrixgleichung schreiben.

Ich habe hier eine Matrix, in der ich spaltenweise die ganzen Eigenvektoren reinschreibe bis xn.

Das heißt, jede Spalte wird durch einen dieser Eigenvektoren gebildet. Das gibt eine n Kreuz n Matrix.

Mal eine Matrix, die hier e hoch lambda 1 t bis e hoch lambda n t auf der Diagonal hat und ansonsten lauter Nullen.

Also eine reine Diagonalmatrix. Wenn ich das ausmultipliziere, habe ich halt x tilde Vektor 1 mal e hoch lambda 1 t plus x tilde Vektor mal e hoch lambda 2 t.

Das ist diese Summe. Und dann das Ganze noch nachmultipliziert, mal mit c1 bis cn.

Also kann ich es auch als Matrixgleichung hinschreiben.

Und bekomme dann halt hier x von t als eine Matrixgroß x, das ist diese hier, mal e hoch einem Matrix lambda t, wobei lambda eine Diagonalmatrix ist mit den ganzen Lambdas, also den Eigenwerten, mal c.

Sodass man das hier auch schreiben könnte, wenn ich das noch mal zusammenfasse, x mal irgendein x Dach hoch t.

Wenn ich das hier zusammenfasse zu x Dach von t.

Man bezeichnet hier drin diese Matrixgroß x als die sogenannte Modalmatrix, die die gesamten Eigenvektoren oder auch Eigenmoden, wie man sagt, enthält.

Diese Matrix ist regulär, das heißt auch invertierbar, da die ganzen Eigenvektoren, zumindest für den Fall 1, ja linear unabhängig sind.

Das hatten wir beim letzten Mal, das heißt die hat vollen Rang, da x, j tilde linear unabhängig.

Das heißt man kann die auch ohne Probleme invertieren und die Matrix lambda sind auf der Diagonale die Eigenwerte, also die Diagonalmatrix der Eigenwerte.

So und c enthält diese ganzen Konstanten.

C, das sind die Konstanten aus der Anfangsbedingung, gilt x von 0 in der Matrixschreibweise, offensichtlich x, Modalmatrix, mal c, ja bei e hoch lambda t für t gleich 0 ist das die Einheitsmatrix.

Also e hoch 0 ist immer 1, da habe ich hier die Einheitsmatrix, das kann ich jetzt auch weglassen und daraus folgt, dass offensichtlich das c darstellbar ist als x hoch minus 1 mal x0.

Das kann ich also durch v multiplizieren mit der Inversen der Modalmatrix aus den Anfangsbedingungen kann ich die Konstanten berechnen, was nichts anderes ist als was da oben steht, dass ich hier das gleiche System für die c's löse.

Und dieses gleiche System ist halt eindeutig lösbar, weil die Koeffizientmatrix, das ist gerade die große Matrix x, hier die Modalmatrix, regulär ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit.

So, damit folgt jetzt die allgemeine Darstellung.

Folgendes, x von t ist also x mal dieses e hoch lambda t mal c, und für c setze ich aber jetzt x hoch minus 1 mal x0 ein, mal x0.

Damit habe ich eine Darstellung der allgemeinen homogenen Lösung gefunden, nur bestehend aus den Eigenvektoren, die hier in dem x stecken und den Eigenwerten, die hier in dem lambda stecken.

Wenn ich das vergleiche mit der Darstellung über die Fundamentalmatrix, die wir schon mal hatten, dann war ja diese Fundamentalmatrix phi von t mal x0, ja, dann ist offensichtlich dieser Ausdruck hier die Fundamentalmatrix.

Und damit habe ich auch einen Weg gefunden, die Fundamentalmatrix zu berechnen über Eigenwerte und Eigenvektoren.

Das war ja sozusagen der Weg, den ich als den üblichen angekündigt habe.

Das ist genau dieser Punkt jetzt, das heißt, ich habe eine Darstellung der Fundamentalmatrix phi von t.

Das war ja als Definition diese Matrizen-Exponentialfunktion von dem a, e hoch a t, kann ich offensichtlich darstellen als x mal e hoch lambda x hoch minus 1 in dieser Form.

Diese Operation, dass ich eine Matrizenfunktion, also ich habe hier die e-Funktion einer Matrix a mal t, kann ich darstellen als die Matrix der Eigenvektoren dieser Matrix a, das x sind ja die Eigenvektoren von a und der Eigenwerte von a.

Und dann nochmal von minus 1 hinten dran, das kann man verallgemeinern, das gilt ganz allgemein. Ich könnte jetzt auch, das brauchen wir jetzt nicht, aber zum Beispiel jede beliebige Matrixfunktion auf diese Art und Weise ausrechnen.

Denn es gilt f von a t wäre x, f von lambda t mal x von minus 1.