Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, willkommen zur fünften Vorlesung. Heute reden wir über Hilberträume und den Begriff

haben Sie sicherlich schon mal gehört aus der Mathematik und diejenigen, zumindest die

letzte Semester, die Mechanik gehört haben, haben sich vielleicht gewundert, dass ich sie bisher in

relativ sanfte physikalische Umarmung genommen habe. Wir haben uns also erst mal überlegt, was wir

hier überhaupt physikalisch erreichen wollen in der Quantenmechanik. Denn wenn man die Quantenmechanik

ganz so formal angeht, von Anfang an, wie wir uns das in der klassischen Mechanik erlauben konnten,

dann sieht man nachher die Physik hinter dem ganzen Formalismus nicht mehr. Wir haben das hier ein

bisschen anders herum gemacht. Aber mit der heutigen Vorlesung, in deren ersten Drittel, wir

noch mal rekapitulieren, was wir jetzt eigentlich physikalisch gelernt haben. Und im Prinzip haben

wir physikalisch das Wesentliche bereits gelernt. Also was die Physik angeht, sind wir fertig. Wenn

wir jetzt entsprechend clever wären, mathematisch clever, könnten wir jetzt von hier aus eigentlich

alles selbst herleiten, was man so in der Quantenmechanik machen kann. Zumindest mal

im Prinzip. Also physikalisch ist das Wesentliche bereits gesagt. Das werden wir gleich noch mal

rekapitulieren. Aber die Frage ist, wie extrahieren wir aus diesem Wesentlichen, was gesagt wurde,

essenziell die Elementaramplituden, wie extrahieren wir daraus physikalische Vorhersagen für eine

ganze Reihe von experimentellen Aufbauten, für eine ganze Reihe von physikalischen Phänomenen. Wir

haben ja bisher nur diesen Doppelspalt betrachtet und letztes Mal den Einfachspalt. Aber was ist

denn mit Atomen, was ist mit irgendwelchen Systemen mit diskreten Energieniveaus, was ist eigentlich

mit Quantencomputing, was ist mit Quantenkryptographie, was ist Entanglement und diese ganzen Geschichten.

Das im Fahrtintegral darzustellen, das geht teilweise, aber bereits das Wasserstoffatom

ist sehr sehr kompliziert im Fahrtintegralformalismus und in der Tat käme niemand, der noch ganz bei

Trost ist auf die Idee, das in diesem Formalismus zu rechnen, außer man möchte natürlich zeigen,

es geht auch. Tatsächlich, wir hatten das schon in der vorletzten Vorlesung hergeleitet, hatten

wir die Schrödinger Gleichung. Die Schrödinger Gleichung war letztlich eine Gleichung für die

Wellenfunktion. Ich werde das gleich noch mal kurz wiederholen und das ist eine schöne Differentialgleichung,

da können Sie, wenn Sie entsprechende Randbedingungen angeben, können Sie sehr schön die Lösungen

herleiten. Da gibt es also nicht mehr diese komplizierten Fahrtintegrale mit diesen Grenzwerten

von unendlich vielen Integralen und so zu berechnen. Das ist ja eigentlich technisch sehr sehr hässlich,

sondern Sie lösen einfach eine partielle Differentialgleichung, die Schrödinger Gleichung.

Nun ist es aber so, dass wir diese Schrödinger Gleichung, so wie wir sie hergeleitet haben,

hatten wir die ja für ein freies Teilchen oder ich glaube für ein Teilchen einem Potential V

hergeleitet in einer Dimension. Gut, in drei Dimensionen, das ist sehr einfach zu machen. Aber

was ist denn mit zu zusätzlichen Teilchen-Eigenschaften, von denen Sie vielleicht schon

gehört haben, zum Beispiel der Spin? Was ist eigentlich der Spin? Das gibt es klassisch in dieser Form

nicht, das müssen wir unter Kontrolle bekommen und viele andere physikalische Situationen auch.

Und es stellt sich heraus, dass wenn wir uns jetzt die Struktur der Schrödinger Gleichung angucken,

das machen wir gleich, nachdem ich die wesentlichen Erkenntnisse noch mal schnell rekapituliert habe,

wenn wir uns die Struktur der Schrödinger Gleichung anschauen, dann sehen wir, das ist eine lineare

Gleichung. Das heißt, wenn Sie da eine Lösung gefunden haben und Sie haben vielleicht noch eine

Lösung gefunden, dann dürfen Sie die beiden Lösungen addieren und die Summe wird wieder eine

Lösung sein. Das ist einfach die Linearität der Gleichung oder auch das Vielfache einer Lösung,

das konstante Vielfache einer Lösung wird wieder Lösung sein. Und jetzt sagen Sie, ja gut, das ist

so eine Eigenschaft, Linearität, okay, was folgt daraus? Naja, wie so häufig, Sie starren die

Gleichung an und Sie erkennen diese wesentliche Eigenschaft und dann erkennen Sie Donnerwetter,

also dieser Lösungsraum, wenn ich da drin addieren darf und ich bleibe drin, es gibt wieder eine

Lösung oder wenn ich mit einer Konstanten multiplizieren darf, das sind ja genau die

Eigenschaften eines Vektorraums. Und da kommt man auf die Idee A, vielleicht müssen wir ja die

Quantenmechanik, wenn es um diese Wellenfunktion geht, formulieren als eine Theorie auf einem

Vektorraum. Aber dann hatten wir auch so andere Dinge getan, wir hatten das absolut Betragsquadrat