Nachdem wir im letzten Video das Prinzip der partiellen Differenzierbarkeit eingeführt

haben und auch schon verstanden haben, wie partielle Ableitungen aussehen, wollen wir

uns im Folgenden mit konkreten und wichtigen Differentialoperatoren erster Ordnung beschäftigen.

Diese tauchen überall in der Mathematik und auch in der Physik auf und deswegen ist es

wichtig, diese Grundwerkzeuge einzeln zu besprechen.

Wir werden uns insbesondere damit beschäftigen, was wir unter einem Gradienten einer Funktion

verstehen, der Divergenz oder der Rotation und all diese als Differentialoperatoren erster

Ordnung verstehen.

Das heißt, deren Definition hängt eigentlich nur von den einfachen oder auch ersten partiellen

Ableitungen ab und später werden wir uns dann auch mit höheren Differentialoperatoren

beschäftigen.

Aber wir fangen jetzt erstmal klein und einfach an.

Und der erste wichtige Operator, den wir uns in diesem Video anschauen wollen, ist

der sogenannte Gradient.

Und der Gradient ist ein Operator, der eigentlich nur die partiellen Ableitungen einer Funktion

in einem Vektor sammelt.

Das heißt, wir wollen im folgenden anfangen mit der Definition des Gradienten.

Definition Gradient.

Was verstehen wir darunter?

Wir brauchen wieder eine offene Teilmenge, auf der unsere Funktion, die wir differenzieren

wollen, definiert ist.

Das heißt, wir sagen, sei U-Teilmenge des R hoch N eine offene Teilmenge.

Und für eine partiell differenzierbare Funktion, diesen Begriff haben wir schon kennengelernt,

das heißt, dass in jeder Komponente im Prinzip in alle Koordinatenrichtungen der Grenzwert

des Differentialquartienten existieren muss.

Also für eine partiell differenzierbare Funktion, ich werde das abkürzen mit DiffBar, die nennen

wir im folgenden auch wieder F, von der offenen Menge U in die reellen Zahlen.

Wir sind erstmal nur skalarwertig.

Heißt der folgende Spaltenvektor Gradient.

Jetzt kommt die Definition des Gradienten.

Wir nennen folgenden Operator den Gradient.

Das ist dieses umgedrehte Dreieck.

Das nennt man auch den Nabler-Operator.

Dieses Symbol angewendet auf eine Funktion, ausgewertet in einem Punkt x.

Und das definieren wir als das Folgende.

Ich schreibe jetzt nochmal die partiellen Ableitungen in ihrer ausgeschriebenen Form.

Das heißt, das ist nicht alles wie die partielle Ableitung von F in die Richtung der ersten

Koordinatenachse x1, ausgewertet in x und so weiter, bis partielle Ableitung von F in

Richtung der enden Koordinatenachse, ausgewertet in x.

Und das Ganze auch noch in Kurzschreibweise.

Jetzt müssen wir noch das T für transponiert schreiben, denn es ist ein Spaltenvektor.

Das Ganze können wir in Kurz auch noch schreiben als diesen Vektor.

Die Notation hatten wir auch schon eingeführt, das ist einfach del 1 von f x bis del n von

f von x.

Und dieser Vektor, der rauskommt, den transponieren wir, damit wir einen Spaltenvektor erhalten.

Das ist auch schon alles bei der Definition.

Wir müssen natürlich noch ausschreiben.

Heißt der Spaltenvektor Gradient von f im Punkt x aus u, also im Definitionsbereich.

Und wie gesagt, dieses Symbol, dieses umgedrehte Dreieck, das taucht relativ häufig auf, vor

allem in der physikalischen Notation.