Hallo, wir machen jetzt die Präsenzaufgaben von Blatt 11 und fangen an mit Aufgabe 31.

Hier haben wir jetzt folgende Funktion. Die Absehensweise definiert ist durch 3x hoch 3 plus 4y hoch 4

durch x² plus y² wenn x und y nicht in Nullpunkt liegen und wenn wir 0 0 einsetzen wollen

dann setzen wir das hier auf 0. Das zeigen ist, dass f stetig ist. Wenn wir zeigen wollen, dass eine

Funktion stetig ist und jetzt in dem Fall 0 Punkt. Die Funktion ist überall anders, ohne Probleme

stetig, weil das hier einfach nur Polynome sind, ein Quotient von Polynomen. Dieses Polynome hat keine

Nullstelle außerhalb von diesem 0 0 und so weiter. Deswegen gibt es da gar keine Probleme. Das heißt wir müssen nur den Nullpunkt überprüfen.

Wenn man sich anschauen möchte ob so eine Funktion stetig in den Punkt ist, dann müssen wir beliebige Folgen

betrachten, die gegen diesen Punkt laufen und dann den Funktionswert in diesen Folgen ausgewertet

überprüfen, ob der gegen den richtigen Wert läuft. Das heißt für beliebige Folgen

xn yn die gegen den Nullpunkt laufen

müssen wir zeigen

dass der Grenzwert von n gegen endlich von f von xn yn gleich dem Funktionswert im Nullpunkt ist.

Und in dem Fall ist das hier gleich nur nach Definition. Also sie können hier nicht einfach

nur irgendwelche Folgen nehmen, zum Beispiel die Folge 1 durch n bei xn und 1 durch n bei yn und dann gucken ob es dann funktioniert.

Das kann man als Diagnostik machen, wenn man nicht genau weiß ob die Funktion stetig ist oder nicht.

Aber das beweist nicht bereits die Stetigkeit in dem Punkt selbst. Wir dürfen nur die Tatsache benutzen,

dass diese Folge gegen den Nullpunkt kombiniert. Wir dürfen keine konkrete Form annehmen. Wir dürfen nicht sagen,

dass wir auf irgendwelchen Geraden gegen den Nullpunkt laufen, auf irgendwelche Spiralen oder sonst irgendwas.

Das ist alles was wir wissen.

Ok, was machen wir jetzt?

Also erstmal, wer weiß wie das so, sei xn yn eine beliebige Folge mit der Eigenschaft, dass der Grenzwert von n gegen endlich von xn yn der Nullpunkt ist.

Die Folge irgendwie gegen den Nullpunkt.

Ok, jetzt schauen wir uns mal an, was passiert mit f von xn yn.

Das ist 3xn hoch 3 plus 4yn hoch 4 durch xn² plus yn².

Und das ist jetzt erstmal problematisch. Also hier kann man nichts faktorisieren.

Wir könnten eine Polynomdivision durchführen, da wird man merken, dass das obere Polynom nicht halber durch das untere Polynom ist.

Das bleibt einfach eine gebrochenen rationalen Funktion. Die sind typischerweise hässlich, weil man nicht so genau weiß, was das größere und was kleinere ist.

Also erstmal als Vorüberlegung, warum könnte es gut funktionieren? Warum könnte das jetzt hier gegen Null konvergieren?

Als ganz grobe Vorüberlegung, der Grad der Polynome oben ist größer als der Grad der Polynome unten.

Hier haben wir x hoch 3, hier unten haben wir x², hier oben haben wir y noch 4, da unten haben wir y².

Das heißt, wenn y und x gegen Null gehen, dann geht das hier oben schneller gegen Null als das hier unten, weil ein Polynom von höherem Grad steiler in die Null reinläuft.

Also nicht steiler, sondern schneller in die Null reinläuft. Das dominiert quasi. Das ist sozusagen die Vorbelegung, warum wir glauben können, dass es funktioniert.

Aber es gibt auch keinen Beweis. Die Frage ist, wie können wir jetzt beweisen, dass das hier dann gegen Null konvergiert?

Was man hier tun muss, ist natürlich abschätzen. Das ist keine elegante Beweistechnik, das ist einfach quick and dirty.

Müssen wir jetzt hier nämlich die Terme abschätzen und hoffen, dass dann diese ganzen Abschätzungen nicht zu grob sind und das Ganze funktioniert.

Also wir machen mal einen Versuch. Den nächsten Mal Versuch 1. Der wird jetzt nicht funktionieren, aber ich gehe trotzdem kurz mit ihm durch.

Was man probieren könnte, wir schätzen ab 3xN hoch 3 plus 4yN hoch 4 durch xN² plus yN².

Also das hier wollen wir abschätzen. Ich tue das mal in Betragsstriche.

Es ist grundsätzlich immer eine gute Idee, da Betragsstriche umzumachen, weil wir zeigen, dass es gegen Null konvergiert.

Wenn wir zeigen können, dass der Betrag gegen Null konvergiert, dann geht das Ganze gegen Null, aber die Betragsstriche erlauben uns,

irgendwelche komischen Vorzeichen von xN hoch 3 und so weiter besser in den Griff zu bekommen.

Also das ist auf jeden Fall eine gute Idee, die Betragsstriche außen rum zu machen.

Und was könnte man jetzt machen? Zum Beispiel könnte man doch einfach dieses yN² weg beschränken.

Wenn wir den Nenner kleiner machen und wenn wir yN² einfach weglassen, machen wir ihn ja kleiner, weil es eine positive Zahl ist.

Also größer als Null. Also können wir das Ganze abschätzen durch folgendes.

xN hoch 3 plus 4yN hoch 4 durch xN², also plus Null sozusagen.

Das ist jetzt deutlich einfacher von der Form her. Schauen wir uns nochmal an, was dann rauskommt.

Das können wir jetzt aufteilen. Das ist kleiner als noch die Dreiecksungleichung 3 mal xN,

weil wir xN hoch 3 und xN² kürzen können, plus 4yN hoch 4 durch xN².