Hallo, wir machen jetzt weiter mit der totalen Ableitung. Dazu wiederholen wir kurz, was beim

letzten Mal passiert ist. Und wir haben darüber gesprochen, dass partielle Differenzierbarkeit

bedeutet, dass alle partiellen Ableitungen existieren. Also dass Objekte, die wir die

partiellen Ableitungen genannt haben, nämlich die Ableitung von f, möglicherweise der i-Komponente,

nach der j-Komponente, das ist die j-parzielle Ableitung der i-Komponente, wenn die alle

existieren, dann nennen wir so eine Funktion partiell differenzierbar. Vor dem ist aber,

dass daraus jetzt noch nicht folgt, dass die Funktion selber, also nicht die Ableitung,

sondern die Funktion selber stetig ist, was im eindimensionalen Fall funktioniert hat. Wir haben

dafür zwei verschiedene Beispiele. Das erste ist dieses Beispiel, die ist überall partiell

differenzierbar, also die partiellen Ableitungen, die existieren überall, aber an der Stelle 0,0 ist

die Funktion selber nicht stetig. Das liegt sozusagen daran, dass die partiellen Ableitungen

hier nur die Hauptkoordinatenrichtungen sehen und da passiert quasi nichts. Aber auch wenn man alle

Richtungsableitungen hat, heißt es noch nicht, dass Stetigkeit erfüllt ist. Und in der Übung hatten wir

diese Funktion hier. Ich hatte da auch einen Plot gezeigt, die geht quasi überall in der

Umgebung von 0 gegen 0, außer auf so einer kleinen, ich sag mal, parabelförmigen Einkerbung. Und wenn

man entlang dieser Einkerbung gegen den Nullpunkt geht, dann ist man konstant bei 1 und läuft mit

Funktionswert 1 gegen den Nullpunkt. Das heißt, da hat man quasi eine Folge finden können, xn,yn,

die so parabelförmig gegen den Nullpunkt läuft, wo die Funktion gegen 1 konjugiert, aber in jeder

anderen Folge kommt die jetzt hier gegen 0. Also ist die Funktion nicht stetig bei 0. Und der

Knackpunkt hier ist eben genau diese, ich sag mal, schräge Form von dieser Einkerbung. Die wird einfach

nicht erfasst von Richtungsableitungen, weil die Richtungsableitungen alle in linear aus dem

Ursprung rausgehenden Radii-Ableitungen ausrechnen. Also das ist jetzt so ein Problem, Ableitungen von

der Gestalt. Und dann sozusagen herauszufinden, was ist hier das Problem oder was ist ein stärker

Begriff für die Ableitung. Überlegt man sich folgenden Begriff, nämlich den der totalen Ableitung,

die totale Differenzierbarkeit, die totale Ableitung. Und die ist dann die, sozusagen,

definitive Antwort auf, was ist eigentlich eine Ableitung in höheren Dimensionen.

Und das geht folgemaßen, eine Funktion von Rn nach Rm, das heißt die Funktion hier,

die ist also von Rn, das kann man eh nicht lesen, aber das steht auch dahinter, also der

Definitionsbereich ist im R hoch n und die Funktion bildet in m Komponenten ab. Dann heißt die

Funktion f total differenzierbar an der Stelle x Stern, wenn es ein Objekt gibt, f Strich von x

Stern, das nennen wir dann die totale Ableitung und das ist eine Matrix mit m Zeilen, wobei m die

Anzahl der Bild Komponenten sind und n Spalten, wobei n die Dimensionalität der Definitionsmengen ist.

Also wenn so ein f Strich existiert, so dass Folgendes erfüllt ist, nämlich die Funktion an

an der Stelle x Vektor oder an der Stelle x lässt sich Linie approximieren durch den Funktionswert an

der Stelle x Stern plus die Ableitung an der Stelle x Stern, das ist eine Matrix,

die multiplizieren wir mit diesem Vektor x minus x Stern, dann kommt insgesamt raus ein Vektor,

genauso wie f, das heißt wir können es addieren, plus ein Fehlerterm, also das ist sozusagen eine

affinlinäre Approximation an f, genauso wie es bei der Taylor-Prognose im ersten

Grades der Fall war und dieser Fehlerterm, der muss folgende Bedingungen erfüllen, nämlich wenn wir x

sehr nah bei x Stern wählen, also wenn wir x gegen x Stern laufen lassen, dann muss die Norm dieses

Vektors sogar dividiert durch die Norm der Differenz immer noch gegen 0 kombinieren.

Also das ist eine stärkere Bedingung als das einfach nur der Grenzwert von x geht gegen x Stern

von diesem Objekt hier gegen 0 geht, also das muss definitiv der Fall sein, dieser Feder muss gegen

0 gehen, aber er muss sogar noch gegen 0 gehen, wenn wir ihn dividieren durch etwas, was auch gegen 0 geht.

Also das ist eine relativ starke Konvergenz hier. Mit allen Worten, der Knackpunkt ist jetzt weniger

dieser Teil, den kann man einfach hinschreiben, Total-Differenzierbarkeit ist eine Bedingung an

das Abklingverhalten dieses Fehlerterms. Also f heißt total differenzierbar, wenn wir die Funktion f

lokal um diesen Punkt x Stern durch diese affinlinäre Funktion appraximieren können. Das ist insbesondere

auch die die Taylor-Entwicklung ersten Grades in diesem Vector-Setting, darüber werden wir aber noch später

sprechen. Und der Feder dieser Taylor-Appraximation, der soll schneller als linear gegen 0 gehen, das ist