Nachdem wir in den letzten beiden Videos Differential-Gleichungsoperatoren

erster Ordnung kennengelernt haben, insbesondere den Gradienten und die Divergenz eines Vektorfelds,

wollen wir uns mit einem letzten Differential-Operator beschäftigen, der sogenannten Rotation.

Diese Rotation ist ein Differential-Operator erster Ordnung, der a priori nur erstmal für uns Sinn

macht im R hoch drei, also in drei Dimensionen. Daher kommt er vor allem häufig auch in der

Physik vor und den wollte ich nicht aussparen. Und warum heißt der Rotationsoperator Rotationsoperator?

Na er hat seine seinen Namen daher, dass er bei der Anwendung auf ein Strömungsfeld und das ist dieses

Vektorfeld an jedem Ort angibt, wie stark die Winkelgeschwindigkeit sich auf diesen Ort auswirkt,

wenn ich mir vorstelle, dass dort ein mitschwimmender Körper ist, der sich dadurch dreht. Das klingt jetzt

etwas abstrakt, ich versuche das Ganze mal zu zeichnen. Das heißt, stellen wir uns mal vor,

wir hätten eine Scheibe und die Scheibe hat in der Mitte eine Drehachse, vielleicht zum Beispiel

einfach einen Holzstab durchgesteckt, an der wir jetzt drehen. Und wir stellen uns vor, das Ganze ist

mit einer Flüssigkeit gefüllt und wir drehen jetzt den Stab in eine gewisse Richtung, das wäre

sozusagen ein Vektorfeld. Dann kann man verstehen, dass die Winkelgeschwindigkeit nahe der

Drehachse relativ klein ist. Das heißt, ich versuche das mit relativ kleinen Pfeilen zu zeichnen.

Und je älter man nach außen kommt, desto größer sind die Winkelgeschwindigkeiten, da sich ja die

Achse rigide drehen lässt und versuchen muss, irgendwie die Geschwindigkeit zu halten nach außen hin.

So kann man sich das Ganze vielleicht vorstellen. Und die Rotation dieser Operator, der ist im

Prinzip die Rotationskraft, die sich auswirkt, wenn ich mir jetzt vorstelle, ich hätte in diesem

Vektorfeld einen kleinen Korken, der da drin schwimmt. Und dieser Korken, der wird durch die Bewegung

angedreht. Das heißt, man versucht sich vorzustellen, was sind die Kräfte, die auf diesen Korken wirken

in diesem Vektorfeld. Und das ist das, was wir unter Rotation verstehen und dass diesem Operator den

Namen gibt. Ich hoffe, dass Ihnen diese Illustration mehr geholfen hat, als sie verwirrt hat. Ich gehe

einfach über zur Definition. Ich hoffe, dass es mathematisch dann mehr Sinn macht. Wir definieren

uns die Rotation als letzten Differentialoperator erster Ordnung. Der hat auch wieder mit dem

NABL-Operator zu tun, wie wir sehen werden. Und wie immer geben wir uns eine offene Teilmenge vor.

Ja, in dem Fall ist sogar auch drei. Ein bisschen aufpassen. Eine offene Teilmenge.

Und wir haben wieder ein Vektorfeld. Das heißt, ähnlich wie bei der Divergenz operieren wir nicht

auf scalarwertigen Funktionen, sondern auf Vektorfeldern. V bildet also ab von U in den R

hoch drei. Das muss ein partiell differenzierbares Vektorfeld sein. Ein partiell diffbares Vektorfeld.

Dann heißt der folgende Operator Rotation.

Operator Rotation des Vektorfelds. Wie ist der definiert? Der wird häufig abgekürzt als ROT,

ähnlich wie bei der Divergenz DIV. Schreibt man hier noch ROT für Rotation des Vektorfeldes.

Das Ganze ist jetzt etwas kompliziert, deswegen versuche ich es abzuschreiben. Das ist del 2 auf

der dritten Komponente des Vektorfelds V3 minus, genau umgekehrt, del 3 V2. Dann haben wir hier

ein del 3 V1 minus del 1 V3 und in der letzten Komponente del 1 V2 minus del 2 V1. Und diese

Art von Notation sollten Sie wiedererkennen. Das hatten wir auch schon in der linearen Algebra.

Das nannten wir damals das Vektorprodukt und haben wir zum Beispiel auch bei der Rechenregel von

Sarus genutzt. Wir werden deswegen sehen, warum man das auch häufig als solch ein Vektorprodukt

mit dem NABLA-Operator schreiben kann. Das ist auf jeden Fall erstmal die Definition. Wir müssen

partielle Ableitung auf verschiedene Komponenten des Vektorfelds anwenden und miteinander

verrechnen. Das interessante ist, dass diese Rotation diesmal nicht wie bei der Divergenz

auf ein Skalar abbildet, sondern selber wieder abbildet auf ein Vektorfeld. Das wollen wir vielleicht

festhalten. Die Rotation bildet Vektorfelder auf Vektorfelder ab. Ja, also steckt was

Dreidimensionales rein, kriegt was Dreidimensionales raus und ich kann das Ganze als Vektorprodukt mit

dem NABLA-Operator schreiben. Auch wieder missbräuchliche Notation, aber damit können wir leben.

Als Vektorprodukt und bei der Divergenz war ein Skalarprodukt, wenn Sie sich erinnern. Als

Vektorprodukt mit dem Vektorfeld schreiben oder notieren. Wie sieht das aus? Wir können die

Rotation von V einfach schreiben als der NABLA-Operator. Das sind sozusagen die partiellen Ableitungen im

Vektorprodukt oder Kreuzprodukt mit unserem Vektorfeld V und dann passiert nämlich genau das,