In Aufgabe 5 geht es um zwei Funktionen die im R2 definiert sind und nach R gehen.

Wir sollen zuerst zeigen, dass f unstetig ist und zwar in Null Null.

Das heißt wir müssen eine Folge xn, yn, die gegen den Nullpunkt läuft finden, sodass

der Grenzwert von dieser Folge eingesetzt in die Funktion nicht f von Null ist.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten das zu machen.

Kandidatenfunktionen sind immer, man läuft auf den Koordinatenachsen oder die irgendwie

diagonal oder irgendeiner komischen Kurve darauf.

Am besten diese Reihenfolge, man fängt am besten mit den einfachsten an und guckt

was funktioniert.

Also z.B. xn gleich 1 durch N und yn gleich Null ist so eine Folge die funktioniert.

Wenn man das macht, das funktioniert es aber nicht, weil das tatsächlich dann gegen Null

konvergiert eingesetzt in f.

Aber wenn wir das genau tauschen und xn gleich Null wählen und yn durch 1 durch N dann funktioniert

das auch nicht.

Denn f von xn, yn ist dann Null minus 1 durch N Quadrat durch Null plus 1 durch N Quadrat

und das ist immer minus 1, konvergiert daher auch für N null endlich gegen minus 1 und

das ist nicht Null.

Das heißt wir haben eine folgende Folge gefunden entlang derer der Grenzwert nicht gleich Null

ist, also ist die Funktion unstetig im Nullpunkt.

In Teilaufgabe b geht es um diese Funktion g, die auf ganz R2 definiert ist.

Wir sollen uns überlegen warum das eine total differenzierbare Funktion ist.

Dazu schauen wir uns die partiellen Ableitungen an.

Was ist die x Ableitung?

Das ist Cosinus von x Quadrat mal nachdifferenzieren 2x mal Cosinus von y und y Ableitung, die

partielle Ableitung noch y ist Sinus von x Quadrat mal minus Sinus von y.

Und das sind beide stetige Funktionen, daher ist nach dem Einsatz unserer Vorlesung g total

differenzierbar.

Also sehr einfach, es gibt hier einfach überhaupt kein Problem.

Das ist eine super unproblematische Funktion, keine Pode und keine Definitionslücken und

gar nichts.

Die Ableitungen haben genau das gleiche, das sind einfach glatte Funktionen, die überdefiniert

sind, die auch stetig sind und wenn die Partien Ableitungen stetige Funktionen sind, dann

ist die Funktion eine total differenzierbare Funktion.

Damit ist schon der erste Teil der Teilaufgabe erledigt und jetzt müssen wir den Gradienten

und die Hesselmatrix noch ausrechnen.

Die Gradienten haben wir jetzt gerade schon ausgerechnet, wir müssen nur noch das in

die Komponenten reinschreiben, das ist der Vektor 2x cos x² mal cos y und minus sin

x² mal sin y.

Einfacher könnte es fast nicht sein.

Jetzt die Hesselmatrix.

Für den 1,1 Eintrag müssen wir die x Ableitung, also das hier noch mal nach x ableiten, das

ist eine kleine Fleißaufgabe, das ist erstmal 2x abgeleitet, 2 mal cos x².

Also dieses Produkt hier müssen wir nach x ableiten.

Plus 2x mal das hier abgeleitet nach x, das ist minus sin x² mal 2x und das ganze hier

mal cos y.

Wenn wir mal kurz gucken, dass ich mich irgendwo verrechnet habe, also 2cos x², ja sieht gut

aus.

Ich habe nur noch einen Eklan vergessen, der ist hier.

Und jetzt der 1,2 Eintrag hier ist entweder die x Ableitung nach y abgeleitet oder die

y Ableitung nach x abgeleitet, das macht keinen Unterschied.