Minus 0 bezahlt zum Quadrate x und das gibt dann das Integral von 0 bis 1 durch n und

hier haben wir wieder die Wurzel n, aber die wird noch quadriert und dann haben wir n dx und das

ist 1 durch n mal n das ist gleich 1. Also die Fläche hier zwischen also im Quadrat Sinn,

es wird hier noch quadriert, ist immer 1 und das geht auch nicht gegen 0, sondern das konvergiert

gegen 1 und das heißt in dieser Form ist die Funktion auch im Quadratmittel nicht konvergent.

Also wenn wir ein Beispiel haben, was im Sinne der Quadrate gegen 0 geht, müssen wir von der

Wurzel n noch etwas runter, also die Wurzel n wächst noch zu schnell, deshalb geht es im

Quadratmittel nicht gegen 0. Also hier haben wir konvergiert nicht gleichmäßig gegen die 0 und

hier haben wir auch konvergiert nicht in L2, so hatten wir das ja auch genannt gegen 0 und wenn

wir jetzt ein Beispiel haben, was in L2 sind gegen 0 geht, kann man zum Beispiel hier nehmen,

statt Wurzel n, n hoch ein Viertel, dann haben wir also ein zweites Beispiel, Gn von x gleich n hoch

ein Viertel und 0, also das ist das gleiche wie vorher nur der Funktionswert ist geändert.

Und dieses Stückchen von 0 bis 1 durch n, das wird ja immer kürzer, aber für die Supremumsnorm

spielt es keine Rolle, wie groß die Menge ist, wo das angenommen wird, also das Maximum,

der Gn von x über alle x ist hier nach wie vor groß, diesmal nur n hoch ein Viertel,

also das geht auch gegen unendlich für n gegen unendlich, und das heißt auch für diese Folge

Gn, sie konvergiert nicht gleichmäßig gegen die 0, also wie eben nur geht es nicht so schnell

gegen unendlich und jetzt gucken wir hier mal die L2 Norm an, also das Integral von 0 bis 2 Pi,

Betrag Gn von x minus 0, klammern zum Quadrat d x, das ist ja das Integral von 0 bis 1 durch n und

dann müssen wir n hoch ein Viertel quadrieren, das gibt n hoch zwei Viertel, also n hoch ein

Alp, also Wurzel n und das ist Wurzel n geteilt durch n und das geht gegen 0 für n gegen unendlich.

Und jetzt sind wir bei einem Beispiel, was nicht gleichmäßig gegen die 0 konvergiert,

aber es gilt diese Folge Gn, n konvergiert in L2 Sinn gegen die 0 und das sollten Sie verstehen,

also die gleichmäßige Konvergenz ist eine viel stärkere Konvergenz als die L2 Konvergenz,

das sehen Sie an diesen Gn, die konvergieren nicht gleichmäßig gegen 0, aber es reicht immer noch

dafür, dass die in L2 gegen 0 gehen, weil dieses Stückchen von 0 bis 1 durch n da nicht so viel

ausmacht, weil die Werte nur mit n hoch ein Viertel gegen unendlich gehen und wenn Sie das

quadrieren, haben Sie Wurzel n und wenn Sie das durch die mit der Länge 1 durch n multiplizieren,

haben Sie etwas, was gegen 0 geht für n gegen unendlich. Also die verschiedenen Konvergenzarten

sind hier wichtig. Wir haben einmal die gleichmäßige Konvergenz, das ist die stärkste Konvergenz,

dann die Konvergenz im Integral L2 Sinn, also im Quadratmittel Sinn, die ist etwas schwächer und

es gibt noch eine schwächere Konvergenzart, das ist die Punktweise Konvergenz, die ist ganz lokal,

da setzen Sie sich in einen Punkt x, den halten Sie fest, dann sind die Fn von x eine Zahlenfolge

für ein festes x und da kann man einfach die Konvergenz im Sinne der Zahlenfolgen betrachten,

das ist die Punktweise Konvergenz, die kennen Sie im Grunde sehr gut aus dem ersten Semester,

da haben wir das immer betrachtet. Dagegen sind diese gleichmäßige Konvergenz und die Konvergenz

im Sinne der Quadratmittel ja Konvergenzarten, die nur für Funktionen einen Sinn haben. Also wir

betrachten jetzt ja Funktionenfolgen und um das Verhalten der Funktionenfolgen zu verstehen,

hat man diese verschiedenen Konvergenzarten definiert. Und wir werden jetzt mitten im Beweis

der quadratischen Konvergenz und zwar im Hilfsatz 1.6 und den wiederhole ich nochmal kurz,

da waren wir im Beweis stehen geblieben, da hatten wir eine Riemann integriert,

wir haben eine 2π periodische Funktion f und die war noch spezieller, f eingeschränkt auf das

Intervall von 0 bis 2π, war nämlich eine Treppenfunktion. Diese Treppenfunktionen

spielten ja bei der Konstruktion der Riemann Integrale eine wichtige Rolle, die sind ja auf

einer Partition definiert und auf jedem Teilintervall der Partition sind sie konstant. Und da gilt dann

diese Konvergenz im L2 Sinn, also der Grenzwert, Limes für n gegen unendlich, der Norm, Partialsummen

der Vorreihe Sn minus f zum Quadrat, das ist Limes für n gegen unendlich, ich schreibe die

Definition nochmal hin, 1 durch 2π, Integral von 0 bis 2π, Betrag Sn von x minus f von x zum

Quadrat dx gleich 0. Also das ist wie in unserem Beispiel, dieses Integral und der Integrant,

der den Abstand da enthält, wird nochmal quadriert, deshalb heißt es auch Quadratmittel.