Diese Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, ich begrüße Sie zu unserer Vorlesung. Wir machen weiter mit dem Kapitel über Vektor

Analysis. Dabei geht es um Integralsätze. Wir werden zum Beispiel den Satz von Greene als

ersten Integralsatz sehen. Bei den Integralsätzen geht es um Verknüpfungen verschiedener Typen von

Integralen. Bei dem Satz von Greene haben Sie zum Beispiel ein Ergebnis im zweidimensionalen Raum.

Da wird zum Beispiel ein Integral über so eine Kreisfläche, wie Sie sie projiziert sehen,

verknüpft mit dem Randintegral über den Rand dieser Fläche. Das ist ja eine Kreislinie. Also

das Randintegral ist ein Kurvenintegral, ein eindimensionales Integral und das Integral über

die Kreisfläche ist ja ein zweidimensionales Integral. Diese beiden Integraltypen kennen wir

schon. Der Satz von Greene entspricht dreidimensional dem Satz von Gauss und da haben wir statt dieses

Kreises so eine Kugel und das dreidimensionale Integral ist dann ein Volumenintegral über das

Kugelvolumen und das Randintegral muss dann ein Integral über die Kugeloberfläche sein. Die

Kugeloberfläche ist etwas zweidimensionales, das im dreidimensionalen Raum eingebettet ist und so

ein Oberflächenintegral haben wir noch nicht definiert. Das werden wir dann heute machen.

Damit können wir dann auch Oberflächen ausrechnen. Zum Beispiel die Größe dieser Kugeloberfläche

rechnet man mit so einem Oberflächenintegral aus. Das Kapitel heißt Vektoranalysis und ist auch

sehr relevant für Anwendungen, besonders in der Strömungsmechanik, zum Beispiel bei Autokarasserien

oder Flugzeugen oder sehr schnellen Schiffen ist das wichtig oder auch bei den Schiffsrümpfen. Also

die sind zwar nicht so schnell, aber das Wasser hat viel mehr Widerstand als die Luft. Also das

sind typische Probleme in der Strömungsmechanik. Das Ganze nennt sich Vektoranalysis und zwar weil

diese Felder, die hier betrachtet werden, Vektorfelder sind. Die Strömungsfelder

ordnen ja jedem Punkt einen Geschwindigkeitsvektor zu und der wird analysiert. Dieses Feld wird

analysiert, daher Vektoranalysis. Zur Motivation Strömungen beschreibt man ja in den Ingenieurwissenschaften

Continumsmechanik. Das heißt, man geht nicht davon aus, dass man viele kleine Atome hat, die so durch

die Gegend fliegen und dabei ab und zu zusammenstoßen, sondern man betrachtet das als ein Continuum,

eine kontinuierliche Masse, die bewegt wird. Das ist also das Modell der Continumsmechanik.

Und damit kann man so gut wie alle praktisch relevanten Strömungseffekte sehr gut modellieren. Die

partiellen Differentialgleichungen, die die Strömungen beschreiben, sind auch bekannt seit

langem. Das sind sogenannte Bilanzgleichungen. Die Bilanzgleichungen kommen aus den Grundprinzipien

der Mechanik. Also man macht eine Impulsbilanz, eine Energiebilanz und eine Massenbilanz und dann

hat man schon genug Gleichungen für ein geschlossenes System. Und diese Bilanzgleichungen leitet man

ja her, wie der Name sagt, indem man bilanziert über so ein Kontrollvolumen. Also man greift sich

so ein Luftvolumen bei einer Luftströmung heraus und analysiert, was kommt da rein, was fließt da

raus. Und das integriert man dann auf. Integrale über das Kontrollvolumen werden erst einmal

aufgestellt und dieses Kontrollvolumen dV läuft dann gegen Null. Und über die Integralsätze kann

man die Randintegrale ja umschreiben zu Volumenintegralen und der Grenzübergang

liefert dann eine partielle Differentialgleichung. Zum Beispiel der Satz von Gauss, der

dreidimensionale Fall des Satzes von Green. Das machen sie also zum Beispiel für die Massenbilanz.

Das liefert dann die Continuumsgleichung oder Contigleichung und Impulsbilanz entsprechend.

Und mit diesen Integralen über Kontrollvolumen den Integralsetzen und einem Grenzübergang

erhält man dann partielle Differentialgleichungen. Die Differentialgleichungen kennt man also und die

Lösung ist nicht analytisch möglich, deshalb benutzt man da numerische Verfahren, um

Nährungslösungen zu berechnen. Und um diese Herleitung nachvollziehen zu können, braucht man

Integralsätze. Und dazu kommen wir jetzt in der Vorlesung. Neben diesen offensichtlichen

Strömungen außen herum um die Karosserie gibt es natürlich auch Strömungen im Inneren der

Fahrzeuge. Zum Beispiel Motor, durch die Rohre strömt ja auch das Medium. Insbesondere ist es

interessant, was passiert, wenn die Rohre sich krümmen und da gibt es eben, obwohl das alles

sehr lang bekannt ist vom Modell her, schon interessante Fragestellungen, die auch numerisch

noch eine Herausforderung sind. Aber hier geht es erstmal um die Grundlagen. Satz von Green ist

der erste Integralsatz. Der Satz von Green ist ja, wie gesagt, ein zweidimensionales Ergebnis.