So, meine Damen und Herren, nach ein paar kleinen Anlaufproblemen versteht sich mein

Rechner nicht mehr mit dem Beamer da. VGA, jetzt ist es so ein bisschen HDMI, aber es

flirrt so ein bisschen. Egal. Wir haben beim letzten Mal ja angefangen mit der Methode

der gewichteten Residuen. Wir waren in dem Absetzen da, wir hatten uns die Grundidee angeschaut,

dann uns um die Methode der gewichteten Residuen gekümmert, dass man sozusagen eine Ansatzfunktion

einsetzt in seine Gleichung. Die Ansatzfunktion erfüllt nicht unbedingt die Differentialgleichung

und auch nicht unbedingt die Randbedingungen. Dann bekomme ich halt Fehlatherme, also durch

die nicht exakte Erfüllung. Das sind die sogenannten Residuen, die jetzt von den Koeffizienten

der Ansatzfunktion, von diesen CIs abhängen, dieser Fehler. Und den möchte man natürlich

möglichst klein machen. Man möchte jetzt die Cs so bestimmen, dass ich möglichst nah

an der wahren Lösung bin, also diese Residuen möglichst klein mache. Da war die Idee, diese

Fehlatherme zu gewichten mit Wichtungsfunktionen. Das sind diese Ws. Und um jetzt ausreichend

viele Gleichungen für die unbekannten Cs zu bekommen, haben wir gesagt, wir addieren

alle Fehlatherme, also über das Gebiet, das erste Integral über Omega und über die beiden

Randtherme, also Verschiebungs- und Spannungsrand, wo ich also Randbedingungen habe, auf und

wähle dann so viele Wichtungsfunktionen W, J, wie ich unbekannte Koeffizienten Ci habe.

Also es gibt genauso viel J wie i. Und dann habe ich ausreichend viel Gleichung. Und

jetzt hatten wir beim letzten Mal uns verschiedene Grundideen angeschaut, nämlich erstmal, ich

kann in den Ansatzfunktionen versuchen, schon bestimmte Residuen zu erfüllen, also exakt

zu Null zu machen. Also zum Beispiel kann ich das auf dem Rand komplett erfüllen, dass

ich nur noch einen Fehler im Gebiet habe, dann habe ich eine reine Gebietsmethode. Das

kommt in der Praxis nicht so häufig vor. Ich meine, für einfache Probleme haben wir

das uns angeschaut, dann geht das. Im Allgemeinen wird das eine reine Gebietsmethode wahrscheinlich

in der Praxis selten vorkommen. Was es durchaus gibt, ist der umgekehrte Fall, dass ich Ansatzfunktionen

wähle, die die Differentialgleichung erfüllen, aber nicht die Randbedingungen. Dann habe

ich nur noch Fehlertherme auf dem Rand, habe auch nur noch Randintegrale dann zu lösen.

Und das ist sozusagen eine Randmethode und auch die Grundlage für die Methode der Randelemente,

die wir hier aber nicht behandeln wollen. Und das gängige und auch der Grundgedanke

der Finite Elemente Methode ist so eine gemischte Methode, bei der man weder die Differentialgleichung

noch die Randbedingungen oder halt nur einen Teil der Randbedingungen erfüllt. Und für

die FIM werden wir sehen, heute ist der Ausgangspunkt das Gajorkin-Verfahren und das ist genauso

ein gemischtes Verfahren, bei dem man die Dirichlet-Randbedingungen, das heißt die Verschiebungsrandbedingungen

exakt erfüllt durch die Ansatzfunktion, aber nicht die Neumann- oder Spannungsrandbedingungen.

Die behält man sozusagen als verschmierten Fehler, muss man die mit schleppen im Integral.

So, da waren wir letztens mal stehen geblieben mit der Wahl der Ansatzfunktion relativ wahr

genug. Die Verfahren unterscheiden sich vom Namen her nach der Wahl der Wichtungsfunktion.

Und da gibt es jetzt eine ganze Reihe von Verfahren und hier sind mal drei gängige

Verfahren aufgeführt. Und das erste wäre die sogenannte Teilgebietsmethode. Die ist

relativ simpel. Wir machen das mal am Beispiel einer reinen Gebietsmethode tatsächlich.

Wir nehmen mal an, dass wir Ansatzfunktionen haben, die komplett alle Randbedingungen erfüllen.

Da muss man sozusagen immer nur noch das Gebietsintegral mitschleppen, aber analog geht das halt auch

für die Randterm. Das heißt, ich habe hier mein Gebiet Omega, 2D oder 3D, je nachdem,

was ich da für eine Problemstellung habe. Und um jetzt auf ausreichend viele Gleichungen

zu kommen, um also meine Omega von C1 bis Cn bestimmen zu können, da ist die simpelste

Methode, ich teile mein Gebiet in Subgebiete irgendwie, sodass ich hier Omega j1 bis n

habe. Also ich nehme so viele Teilgebiete, wie ich unbekannte Koeffizienten habe und

sage sozusagen dieses Residuenintegral, das Integral über Omega, da hatte ich hier das

W Omega mal R Omega von C1 bis Cn, die Omega. Da muss ich hier sozusagen j Wichtungsfunktionen

wählen, j gleich 1, also das soll gleich 0 sein, wird 1 bis n. So, jetzt wähle ich

halt am einfachsten Fall in der Teilgebiet-Funktion die W Omega so ist gleich 1, wenn der Punkt