Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Schönen guten Morgen. Wir hatten uns beim letzten Mal angeschaut, das Prinzip der virtuellen Arbeiten

beziehungsweise die Methode der gewichteten Residuen. Und ich will das hier nochmal jetzt auf Folie sozusagen

oder auf Beamer zusammenfassen. Das entspricht dem Kapitel 6 im Skript.

Das heißt, wir haben für die Continuum-Mechanik hier dieses Prinzip der virtuellen Arbeiten,

beziehungsweise das Dallarm-Bersche-Prinzip in der Fassung von Lagrange, heißt das ganz vollständig.

Das ist praktisch die Erweiterung des Prinzipes der virtuellen Arbeiten um Trägheitstherme.

Das heißt, wir haben hier die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte, also die virtuelle Arbeit der virtuellen Verzerrung

an den wahren Spannungen. Und hier drüben die virtuelle äußere Arbeit, einmal der Volumenkräfte

und hier der Randspannung auf dem Neumannrand, also auf dem Rand, auf dem Spannungen gegeben sind.

Und es kommt dazu die Arbeit der Trägheitskräfte hier, roh die Dichte mal U2 gepunktet, die Beschleunigung,

das ist sozusagen Masse mal Beschleunigung, nachdem ich über das Volumen integriert habe.

Und das kann man behandeln wie eine Volumenkraft im Dallarm-Berschen-Sinne, und zwar mit Minus,

das kann man sich vielleicht erinnern an diese nicht sehr schöne Rückführung der Dynamik auf die Statik,

bei der man die Trägheitskräfte wie eingeprägte Kräfte behandelt und zwar der Bewegung entgegengesetzt.

Das heißt, sie würden hier drüben mit Minus eigentlich auftauchen, dann schafft man sie aber auf diese Seite hier.

Dann steht hier Plus und dann habe ich hier diesen Ausdruck stehen.

Also es ist jetzt bloß noch die Ergänzung um die Trägheitskräfte. So und das Ganze kann man jetzt vollständig in Verschiebungen formulieren,

denn wir wollen ja ein verschiebungsbasiertes Verfahren nachher haben, also nur eine unbekannte Feldgröße,

das heißt man hat das Stoff gesetzt, die Spannungen sind irgendeine Stoffmatrix mal die Verzerrung,

das kann man einsetzen hier für das Sigma, dann habe ich hier Delta Epsilon Transfere C mal Epsilon,

das soll das gleiche Epsilon sein wie da oben, egal.

Und es gibt die Verzerrungs-Verschiebungsrelation, dass ich nämlich die Verzerrung durch diesen Verzerrungsoperator,

diesen Ableiterungsoperator aus den Verschiebungen bestimmen kann und das kann ich einsetzen.

Und das Delta hier ist zu viel. Da gehört natürlich kein Delta hin, sondern das normale U nur.

Hier ist die virtuellen Verzerrungen, hier ist richtig, die Epsilon angewenden auf das Delta U mal C mal Epsilon muss hier stehen,

das heißt das Delta ist falsch hier. Das ist im Skript aber hoffentlich richtig.

Oder? Ist auch das Delta drin? Ja, okay. Dann streichen Sie das Delta da raus, das gehört da nicht rein.

Und hier drüben bleibt alles beim Alten. Also ich habe jetzt im Prinzip alles in Delta Us bzw. Us formuliert.

Und das kann man jetzt halt umschreiben für, jetzt mag das nicht mehr hier, halt, da.

Für die verschiedenen Varianten, das heißt für dreidimensionales Continuum ist das Verschiebungsfeld Uvw oder Ux, Uy, Uz, hat also drei Koordinaten.

Der Ableiterungsoperator sieht dann so aus, das heißt ich kann hier eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs Verzerrungsgrößen aus den drei Verschiebungen bestimmen.

Und die Stoffmatrix schreibt man in diesem Fall halt günstig mit diesen Lammé-Konstanten, Lambda plus zwei Mu, aber die kann ich ja aus E und Mu, also E-Modul und Querkontaktionszahl bestimmen.

Das heißt, die kennt man für linealastisches Verhalten. So und das kann man jetzt runter brechen, so wie wir das schon gemacht hatten für die Continuummechanik.

Ich kann auf den Ebenen Verzerrungszustand oder den Ebenen Spannungszustand übergehen, in beiden Fällen habe ich nur noch ein zweidimensionales Verschiebungsfeld.

Der Ableiterungsoperator hier ist derselbe, das heißt die Verzerrungen bestimmen sich in beiden Fällen gleich aus den Verschiebungen.

Der einzige Unterschied ist hier diese Stoffmatrix, die man hier austauschen muss.

Das hatten wir auch schon mal und im aller einfachsten Fall habe ich das 1D-Continuum, den Stab.

Da gibt es halt nur noch eine einzige Verschiebung, hier meinetwegen als UX geschrieben.

Die Verzerrungen sind einfach DU nach DX und die Stoffmatrix fällt halt zusammen auf einen Wert, nämlich den E-Modul.

Das gleiche kann man für die Strukturmechanik angeben.

Das heißt ich kann auch hier das Dahnam-Bärscheprinzip hinschreiben.

Ich habe es jetzt hier, auch hier fehlt ein A, hier müsste Rho mal A stehen, denn ich habe hier bereits über das Volumen als ADX des DV umgeschrieben.

Also ist das Rho hier bezogen auf die Länge, also müsste Rho mal A da stehen.

Hier fehlt auch das A überall, ist das im Skript auch überall?

Ok, das hatte ich noch eingefügt, aber zu hastig offensichtlich.

Und hier diese Terme, der Rand fällt hier zusammen auf einen Punkt oder auf zwei Punkte, die beiden Enden des Systems.

Hier habe ich aus dem T schon das F gemacht, mal A, da stimmt es sozusagen, das sind die Schnittgrößen.

Und für die schubstarken Balken ist hier die Verschiebung halt die Durchsenkung.

Der Ableitungsoperator ist hier von zweiter Ordnung, D2 nach DX² mit dem Minuszeichen an dieser Stelle.