Hallo, willkommen zurück. Jetzt dürfen wir uns endlich wieder mit Rechenregeln beschäftigen.

Und diese Rechenregeln werden in den Übungen sehr sehr hilfreich sein, auch in der Klausur.

Deswegen ist es hier definitiv eine der zentralen Vorlesungen zum Thema Folgen.

Natürlich sind alle Vorlesungen zentral.

Wir haben uns angewöhnt, dass wir viel mit diesem Epsilon-Kriterium und dem Cauchy-Kriterium der Konvergenz arbeiten.

Und das ist sehr wichtig, weil das ist das fundamentale Kriterium.

Aber in gewisser Hinsicht ist es zu grundlegend, um damit mit komplizierten Folgen praktisch umgehen zu können.

Also zum Beispiel, wenn wir diese Folge hier, wenn wir zeigen wollen, dass diese Folge hier konvergiert,

dann, naja, es geht mit dem Epsilon-Kriterium, aber wir müssen hässliche Abschätzungen machen, das dauert lange.

Und was wir jetzt in dieser Vorlesung herleiten werden, sind einfache Rechenregeln,

die wir natürlich mit dem Epsilon-Kriterium beweisen müssen, dass sie stimmen,

die uns aber dann erlauben werden, die Konvergenz von Folgen deutlich schneller zu überprüfen.

Und auch den Grenzwert von Folgen, die ich schneller auszeichne.

Wenn Sie also schon in der Schule mit Folgen gearbeitet haben,

dann haben Sie typischerweise diese Rechenregeln gelernt, die wir jetzt gleich besprechen werden.

Diese Rechenregeln sind Regeln, wie man mit Summen oder Produkten oder Quotienten von einfacheren Folgen umgeht.

Es sind in gewisser Maßen Regeln, mit denen man komplizierte Folgen auf einfache Folgen zurückführt,

deren Grenzwerte man bereits kennt.

Das haben wir auch schon vorher gemacht.

Das stimmt nicht, dass die Zahlen nicht falsch sind.

Also wir hatten 1 drittel a n plus 4.

Und wie ich habe behauptet, wenn das hier gegen a konvergiert, dann konvergiert das Ganze hier gegen 1 drittel a plus 4.

Warum ist das so?

Also das müssten wir eigentlich erst zeigen.

Wir müssten also jetzt hier für diese Folge, die nennen wir jetzt dann b n zum Beispiel,

die definieren wir jetzt so und für diese Folge müssten wir zeigen, dass die konvergiert mit Hilfe des Epsilon-Kriteriums.

Und wenn wir das jedes Mal machen müssen, dann wäre das glaube ich wahnsinnig.

Das heißt wir möchten lieber eine fundamentale Rechenregel herleiten, die uns erlaubt, solche völlig offensichtlichen Dinge hier zu tun.

Das sind jetzt die drei einfachsten fundamentalen Rechenregeln für konvergierte Folgen.

Wir haben zwei verschiedene Folgen a n und b n.

Und der Grenzwert von 1 sei a und der Grenzwert von b n sei b.

Jetzt gilt, wenn beide konvergent sind, dann ist auch die Summe der beiden Folgen, also die elementweise Summe konvergent,

also die neue Folge, sagen wir mal c n, mit c n ist vielleicht a n plus b n, die ist konvergent.

Und der Grenzwert dieser Folge ist einfach die Summe der beiden Einzelgrenzwerte.

Sieht völlig trivial aus.

Ist auch nichts falsch dran.

Müssen wir natürlich einmal kurz beweisen, dann können wir es benutzen.

Genauso das Gleiche gilt auch für das Produkt von zwei Folgen.

Zwei Folgen, die konvergent sind, liefern uns eine konvergente Produktfolge.

Und der Grenzwert dieser Produktfolge ist das Produkt der Grenzwerte der beiden Folgen.

Und das gilt auch für Quarzieren. Jetzt müssen wir natürlich ein bisschen aufpassen, weil wir wollen nie durch 0 dividieren.

Das heißt, wenn jetzt alle b n ungleich 0 sind und auch der Grenzwert b ungleich 0 ist,

dann können wir auch diesen Bruch hier anschauen.

Der ist dann auch konvergent und der Grenzwert dieses Buches ist der Bruch der Grenzwerte.

Natürlich kann man sich auch konstante Folgen anschauen.

Also die Folge b n ist gleich konstant gleich alpha.

Dann haben wir hier a n mal alpha ist dann konvergent und zwar gegen alpha mal den Grenzwert der a n Folge.

Und das gleiche geht auch mit Summen und so weiter.

Das Zahlen sind konstante Folgen für alle Zwecke, die wir verfolgen.

Beweis, das machen wir jetzt mal.