Wie wir bereits im Video zur totalen Differenzierbarkeit gesehen haben, liefert uns die Definition des

Fehlerfunktionals, das dort auftauchte, eine Approximation. Nämlich wir haben gesehen,

dass das Differential einer Funktion in einem Punkt eine affinlinieare Approximation der Funktion

an dieser Stelle ist. Also wir haben gesehen, dass wir bis auf einen linearen Term beliebig nah an die

Funktion rankommen und dann haben wir dieses Fehlerfunktional erhalten, das uns den Fehler angibt.

Wir wollen uns jetzt in diesem Video mit einer Approximation beschäftigen, die noch viel besser

ist, da sie noch höhere Ableitungen der Funktion mit berücksichtigt. Und dieses Werkzeug, das sehr

wichtig in der Mathematik, aber auch in der Physik ist, ist die sogenannte Taylor-Formel. Die Formel

ist im Prinzip ein sehr nützliches Werkzeug, um Funktionen zu approximieren und durch einfachere

Polynome anzunähern. Und das hat zum Beispiel in der Physik oder in der Numerik sehr viele

Anwendungen. Dadurch können wir zum Beispiel nämlich nicht-lineare Funktionen in einer lokalen

Umgebung linear annähern. Und das macht viele Berechnungen und auch Abschätzungen wesentlich

einfacher. Wir werden in diesem Video anfangen mit der Taylor-Formel im Eindimensionalen,

bevor wir uns um die Verallgemeinerung für vectorwertige mehrdimensionale Funktionen kümmern. Bevor

wir doch die Taylor-Formel wirklich hinschreiben können, brauchen wir erstmal ein wichtiges

Hilfslemmer. Und zwar ist das der sogenannte Satz von Rolle. Damit wollen wir heute beginnen.

Und der Satz von Rolle. Und wie gesagt, wir bleiben jetzt erstmal im Eindimensionalen.

Nicht, dass Sie sich wundern. Wir haben ein Intervall, a, b, Timing, r. Und wir sagen,

dass a kleiner b ist. Recht kleiner b. Und wir betrachten eine stetige Funktion. Und es sei f

von diesem Intervall a, b nach r, also reellwertig, eine stetige Funktion. Und wir fordern nicht

nur, dass sie stetig ist, sondern sie soll im Inneren des Intervalls auch differenzierbar

sein. Also die auf dem offenen Intervall a, b differenzierbar ist. Dann sagt uns der Satz

von Rolle, wenn die Funktion jetzt in a und in b denselben Funktionswert annimmt, also schreiben

hin, es sei außerdem, das ist jetzt wichtig, f von a gleich f von b. Dann kann ich sagen,

dann muss es einen Punkt irgendwo zwischen den beiden im inneren Intervall geben, so dass die

Ableitung in diesem Punkt gleich Null ist. Also dann existiert ein Punkt, ich nenne mal x0, im offenen

Intervall a, b, sodass die Ableitung der Funktion in den Punkt Null ist. Ja, wir müssen das ganze

interpretieren. Wir können uns überlegen, wir hätten irgendwo eine Funktion gegeben. Ich skizziere

einfach mal hier eine Funktion, die von mir so einen Verlauf hat. Nun könnte ich sagen, okay,

ich schaue mir mal Punkte an, in denen die Funktion gleich ist. Das wären im Prinzip diese beiden,

die nenne ich jetzt a und b, f von a ist gleich f von b. Dann wird klar, wenn die Funktion stetig ist,

dann nimmt sie insbesondere alle Werte hier zwischen an. Und irgendwo auf dem Weg zwischen a und b muss

es eine Stelle geben, an der die Funktion die Ableitung gleich Null hat. Und das ist in dem

Fall genau hier, bei der die Tangente die konstante Null ist. Das wollte ich nicht.

Das heißt, man wird hier irgendwo einen Punkt finden, hier oben, an dem f Strich von x0 gleich

Null ist. Das ist der Satz von Rolle, den brauchen wir, um die Taylor-Formel zu beweisen. Der Beweis

ist relativ einfach, schauen wir uns kurz an. Machen wir zuerst mal eine Fallunterscheidung. Wenn

f eine konstante Funktion ist, dann gilt insbesondere, dass sie überall denselben

Funktionswert hat, nämlich f von a oder f von b. Und dann ist dieses Lemma trivialerweise erfüllt,

weil jede konstante Funktion deren Ableitung ist Null. Also falls f eine, das sozusagen der

langweilige Fall, konstante Funktion ist, dann gilt insbesondere, dass f von x konstant f von a ist

beziehungsweise f von b für alle x in einem abgeschlossenen Intervall ab. Naja, dann gilt

trivialerweise, dass die Ableitung immer Null ist, weil die Funktion eine konstante ist.

Dann gilt f Strich von x Null gleich Null für alle x Null in h b. Wunderbar, also der langweilige Fall,

den schließen wir jetzt mal aus. Jetzt nehmen wir mal an f ist nicht konstant.

Also nicht konstant ist der zweite Fall, den wir betrachten. Naja, wir haben ein kompaktes

Intervall und wir wissen, dass die Funktion stetig ist. Das ruft ja eigentlich schon nach dem Satz von

Weierstrass und ihr sagt uns, dass die Funktion irgendwo auf diesem kompakten Intervall ein

Minimum und ein Maximum annehmen muss. Das war ein Satz aus dem letzten Semester. Also

da f auf dem kompakten Intervall a, b, r, stetig ist, folgt mit dem Satz von Weierstrass.