Wir haben im letzten Video die eindimensionale Taylor-Formel eingeführt und in diesem kurzen

Video wollen wir die Aussage noch verallgemeinern auf mehrdimensionale vektorwertige Funktionen und

einige nützliche Korrelarer daraus ziehen. Leider ist es uns aus Zeitgründen nicht gestattet,

auf sämtliche Beweise einzugehen, da wir uns im Semester dem Ende nähern und wir einfach noch

zu viel Stoff vor uns haben, aber die Beweise finden sie vollständig wie immer im Skript.

Das heißt, wer Interesse hat, kann sich die dort gerne nochmal anschauen.

Die sind ein wenig technisch, aber an der einen oder anderen Stelle ist ein kleiner Kniff versteckt,

an dem man vielleicht auch nochmal eine Beweistechnik sich anschauen kann.

Gut, bevor wir anfangen, die Taylor-Formel im Mehrdimensionalen zu formulieren,

brauchen wir erst noch ein wenig mehr Notation.

Die ist nämlich nicht so einfach aufzuschreiben ohne diese Notation.

Und deswegen beginnen wir mit der Definition der sogenannten Multi-Index-Schreibweise.

Das liegt jetzt einfach daran, dass wir Funktionen in mehreren Komponenten haben,

die wiederum in verschiedene Koordinatenrichtungen abgeleitet werden können.

Das heißt, wir brauchen diese Multi-Index-Schreibweise, um das akkurat festzuhalten.

Das heißt, wir beginnen mit folgender Definition.

Multi-Index.

Wir betrachten jetzt immer n-Tupel für ein n-Tupel der folgenden Gestalt.

Das nennen wir Alpha.

Ich habe das nicht groß schreiben.

Alpha und das ist eigentlich nur ein Vektor aus natürlichen Zahlen.

Also Alpha 1 bis Alpha n.

Und das lebt in den natürlichen Zahlen hoch n.

Die nennen wir Multi-Index.

Wir brauchen dafür diese Multi-Index folgende Operation.

Dann können wir die Taylor-Formel formulieren.

Definieren wir die folgenden Operationen.

Und zwar wollen wir erstmal verstehen, was verstehen wir unter dem Betrag solch eines

Multi-Index.

Das heißt, wenn ich schreibe Betrag von Alpha, was ist das Ganze?

Das ist eigentlich nichts anderes wie die Summe der einzelnen Indizes.

Das heißt, ich habe jetzt hier eine Summe von i gleich 1 bis n Alpha i.

Und das zählt mir eigentlich nur, was ist die Summe der einzelnen Einträge.

Und später, wenn es dann um Ableitung geht in der Taylor-Formel, sagt mir das, wie viel

der Ableitung wir betrachten.

Wir müssen das verstehen.

Außerdem führen wir ein, was verstehen wir unter Alpha-Fakultät.

Sie erinnern sich, in der Taylor-Formel kamen auch immer diese Fakultätsterme als Koeffizienten

vor.

Das ist hier nichts anderes wie das Produkt von i gleich 1 bis n über die Fakultäten

der einzelnen Einträge.

Also Alpha i Fakultät.

Sowas kriegen wir auch.

Und jetzt können wir uns anschauen, was verstehen wir unter einer partiellen Ableitung bezogen

auf den Multi-Index Alpha.

Dazu können wir festhalten, für eine insgesamt Alpha-Betrag mal stetige, stetig partiell

differenzierbare Funktion.

Stetig partiell diff-bare Funktion können wir definieren.

Was die Ableitung bezüglich Alpha ist, das können wir so festhalten.

Wir schreiben dann das partielle Ableitungszeichen hoch Alpha.