In diesem Teil der Vorlesung wollen wir einen Kleinausflug in das mathematische Feld Optimierung

wagen und Optimierung ist eigentlich ein sehr spannendes mathematisches Feld, das uns Menschen

eigentlich auch sehr natürlich vorkommt, denn eigentlich, wenn wir uns umsehen, findet Optimierung

überall um uns herum statt, auch im Alltag oder aber auch in der Industrie, in Geschäftsprozessen.

Wenn ich mal Beispiele nennen soll, dann würde ich zum Beispiel an Physik denken, wo eine Optimierung

in sehr vielen verschiedenen Skalen auftaucht, zum Beispiel wenn wir uns sehr kleine Skalen

anschauen, auf Moleküle uns beschränken, dann formieren sich diese Moleküle in einer Art,

die die Gesamtenergie des Teilchen-Systems unter der Berücksichtigung von allen Kräften,

die dort wirken, irgendwie minimiert. Und gleichzeitig, wenn wir auf sehr große

Skalen achten in der Physik, wie zum Beispiel den Kosmos, das Universum mit all seinen Planeten,

Sternen, Galaxien, dann findet dort auch eigentlich eine Art Energieminimierung statt,

bei der versucht wird, das Gesamtsystem in einen Zustand zu bringen, dessen Energie möglichst

niedrig ist. Und in dem Fall, das, was wir dort beobachten, ist eigentlich Entropie. Denn Entropie,

das ist eine thermodynamische Größe und die nimmt zu. Das heißt, man versucht, so viel wie möglich

Verteilung hineinzubringen in dieses System und auch das könnte man unter dem Aspekt der

Optimierung betrachten. Es gibt aber auch außerhalb der Physik viele relevante Probleme, auch aus dem

Bereich Data Science. Und eigentlich betreiben Menschen seit jeher Optimierung. Wir denken

zum Beispiel an Flugzeuge, die von Ingenieuren entworfen werden und halt auch so gebaut werden,

dass die Stromlinien förmig aussehen und damit den Reibungswiderstand minimieren. Da findet also schon

Optimierung statt, aber gleichzeitig auch den nötigen Auftrieb haben, um einen sicheren Flug zu

erzeugen. Das heißt, das versucht man irgendwie auch gleichzeitig zu maximieren. Das heißt, man

hat es hier klassischerweise mit einer Art Minimarks Problem zu tun. Und das Gleiche gilt auch, wenn ich

mir überlege, was am Finanzmarkt passiert, wo ein Fondmanager versucht, Portfolios zu erstellen,

deren Gewinn möglichst maximal wird und dennoch die Spekulationsrisiken sehr klein hält. Auch hier

haben wir ein Minimarks Problem. Das heißt, egal wo wir hinschauen, um uns herum, wir versuchen immer

Optimierungsprobleme zu lösen. Und darum ist dieses mathematische Feld sehr natürlich und auch sehr

spannend für uns Menschen. Wir wollen in diesem ersten Video erstmal eine allgemeine Einführung in

Optimierungsprobleme geben und die so allgemein wie möglich halten und dort erklären, worauf es

ankommt, um dann später in folgenden Vorlesungen anzugeben, wie wir das Ganze in Spezialfällen

betrachten und auch mathematisch formulieren und lösen können. Beginnen wir also erstmal mit der

Definition eines möglichst allgemeinen Optimierungsproblems. Also Definition, allgemeines Optimierungsproblem.

Wir brauchen erstmal eine offene und zusammenhängende Teilmenge, über der wir

sozusagen unsere Lösung suchen für das Optimierungsproblem.

Diese Teilmenge nennen wir im folgenden für die Optimierung immer Omega als eine Umgebung.

Also Omega Teilmenge auch n eine offene, zusammenhängende Teilmenge. Und wir haben eine

reellwertige Funktion. Wir gehen jetzt erstmal nur von skalarwertigen Funktionen aus, um das

ganz einfach zu halten und die bildet ab von dieser Menge Omega in die reellen Zahlen.

Die nennen wir typischerweise auch Zielfunktion in der Optimierung. Das ist einfach die Terminologie.

Das ist das, was man minimieren oder maximieren möchte. Und was ist das Ziel? Das wollen wir

vielleicht formulieren. Unser Ziel ist es einen unbekannten Vektor zu finden. Den nennen wir

Parameter Vektor. Ein unbekanter Parameter Vektor. Das ist ein Punkt eben aus diesem

Umgebiet Omega zu finden, der das folgende allgemeine Optimierungsproblem löst. Und wie

sieht das aus? Na ja, es wird jetzt sehr abstrakt natürlich gehalten, da wir uns keine konkrete

Anwendung anschauen. Aber man wird später sehen, dass sämtliche Optimierungsprobleme,

die man sich vorstellen kann, in dieses Framework passen. Das heißt, was wollen wir

erstmal machen? Wir wollen minimieren über alle x aus diesem Gebiet. Das heißt, wir suchen das x,

das minimiert und zwar was? Die Zielfunktion von x. Im Prinzip könnte man sich denken, ja gut,

dann bin ich ja jetzt fertig. Aber nein, das allgemeine Optimierungsproblem erlaubt es sogar

auch noch Bedingungen zu stellen, sogenannte Nebenbedingungen. Die sehen wie folgt aus,

wir haben Bedingungen, die eine Gleichheit erfordern. Die bezeichnen wir als Nebenbedingungen