Hani Knecht

miele

So, jetzt zu Ihnen. Ich wiederhole nochmal kurz, was wir über die Furi-Reihen schon gezeigt haben.

Wenn wir eine Riemann integrierbare 2π-periodische Funktion haben, dann gilt der Grenzwert

lims für n gegen unendlich 1 durch 2π. Und jetzt haben wir diese quadratischen Integrale f von x

minus Sn von x zum Quadrat der x gleich 0. Die Sn von x sind dabei die enden Partialsummen der

Furi-Reihe von f, also in der komplexen Formsumme Ck e hoch ikx und das k läuft von minus n bis n.

Dann können Sie ja für jedes feste n diese Zahl ausrechnen. Also das können Sie sich als so eine Art

Abstandsmaß vorstellen, wenn Sie noch die Wurzel davon nehmen und auf diese Weise kriegen Sie ja

eine Zahlenfolge, eine Folge von Integralen und diese Zahlenfolge konvergiert gegen 0. Das ist aber,

wenn Sie jetzt das als Konvergenz dieser Funktionenfolge betrachten, eine nicht so starke

Konvergenz. Deshalb untersuchen wir jetzt im Moment die gleichmäßige Konvergenz. Da brauchen wir

stärkere Voraussetzungen. Also ich will nun zeigen, wenn f Element r ist und dann noch stetig, also keine

Sprünge hat, Knicke darf es haben, aber es ist stückweise stetig differenzierbar. Das heißt,

Sie haben so eine Partition des Intervalls und auf jedem Teilintervall ist dann die Funktion stetig

differenzierbar. Dann wollen wir eine stärkere Konvergenz Aussage zeigen, nämlich der Grenzwert

limes für n gegen unendlich und dann haben wir das Supremum über alle x, sagen wir von 0 bis 2 Pi,

vom Betrag von f von x minus Sn von x und das ist gleich 0. Also hier integrieren Sie nicht, da kommt

kein Integral vor, sondern Sie nehmen einfach die maximale Abweichung im Betrag zwischen der Funktion

f von x und der nten Fourier Partialsumme und diese Maximalabweichung wird immer kleiner für wachsendes

n. Also hier ist kein Integral im Spiel, hier könnten Sie natürlich auch integrieren und also wenn Sie

diese gleichmäßige Konvergenz haben, dann folgt natürlich auch wieder die Konvergenz, die Sie sowieso

haben im L2 Sinne, also im Quadratmittel. Das sind also unsere beiden Aussagen. Wir haben immer die

Konvergenz in dieser L2-Norm oder Hilbert-Rom-Norm, aber unter stärkeren Regularitätsvoraussetzungen

für die Funktion haben wir auch die gleichmäßige Konvergenz aus der zweiten Aussage. Und da waren

wir im Beweis stehen geblieben und hatten schon die Ck ausgerechnet für k umgleich 0 gilt Ck gleich

minus i durch k mal gamma k und die gamma ks waren dabei im Wesentlichen die Fourier-Koeffizienzen von

F-Strich, also von der Ableitung. Und damit können wir ja den Betrag von Ck nach oben abschätzen.

Das Kleiner Gleich ein halb mal eins durch k Quadrat plus gamma k Quadrat, das ist die Young-Ungleichung.

Und jetzt haben wir also eine obere Schranke für die Beträge dieser Cks, das sind die Fourier-Koeffizienzen

von F und die können wir jetzt aufsummieren und da müssen wir jetzt nicht quadrieren, sondern wir

können einfach die Beträge aufsummieren. Das hatten wir auch schon gemacht, also die Summe für k aus z

der Beträge von Ck sind wir dann Kleiner Gleich den Betrag von C0, irgendeine Zahl und dann Summe von k

gleich eins bis unendlich eins durch k Quadrat plus Summe k gleich eins bis unendlich gamma k Quadrat.

Und das sind beides endliche Reihen und hier haben wir also mit dem Majoranten-Kriterium gezeigt, dass

die Summe der Beträge der Cks konvergent ist. Und damit können wir jetzt weiter arbeiten, um diese

gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, die jetzt Inhalt des Satzes ist.

Also wir wissen, die Summe der Beträge der Fourier-Koeffizienzen ist hier konvergent, damit arbeiten wir jetzt weiter.

Die Summe k gleich minus unendlich bis plus unendlich Betrag von Ck konvergent ist folgt ganz klassisch mit dem

Majoranten-Kriterium. Wir können uns eine Funktion g von x definieren, indem wir die Summe von k gleich

minus unendlich bis unendlich Ck mal e hoch ikx bilden. Also das sieht wieder genauso aus wie die Fourier-Reihe

zu der Funktion f, aber wir betrachten das jetzt so, wir haben ja die Cks als Zahlenfolge und die multiplizieren

wir einfach mit den e hoch ikx. Wenn wir dann hier Beträge drum schreiben, dann können wir das nach oben

abschätzen, indem wir die Beträge reinziehen mit der Dreiecksungleichung in die Summe und der Betrag von e

hoch ikx ist ja 1 und die Summe der Beträge von Ck ist kleine und unendlich. Und mit dem Majoranten-Kriterium

folgt dann, dass das g von x wohl definiert ist, also konvergent ist als Reihe für alle x aus R. Also die Reihe

konvergiert absolut folgt aus dem Majoranten-Kriterium. Und als nächstes zeigen wir, dass die Funktion g,

die wir auf diese Weise für alle x definieren, eine stetige Funktion ist. Wir zeigen, für alle x Element R

ist g stetig in x und das wollen wir jetzt zeigen. Bei der Stetigkeit brauchen wir immer zwei Punkte und den

zweiten nennen wir jetzt y. Das sei also y Element R und dann müssen wir g von x minus g von y irgendwie klein