Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, herzlich willkommen. Wir sind nunmehr am gewissermaßen mittleren Abschnitt der

Vorlesung angekommen. Wir lassen also jetzt das Thema Aussagenlogik hinter uns und kommen

zu einer ausdrucksstärkeren Logik. Prädikatenlogik erster Stufe.

Wie immer ist die herrschende Terminologie Englisch. Ich schreibe also einmal an,

was das auf Englisch heißt. Auf Englisch heißt das First-Order-Predicate-Logic und man kann sowohl

auf Deutsch als auch auf Englisch den Verweis auf die Prädikate weglassen. Das heißt also statt

First-Order-Predicate-Logic ist es üblich First-Order-Logic zu sagen. Etwas üblicher als auf Deutsch

einfach nur Logik erster Stufe zu sagen, aber im Prinzip ist beides gebräuchlich. Und weil sich das

so schön abkürzt, mit einem aussprechbaren Akronym voll, nehmen wir das als Abkürzung für diese

Logik, wenn es den Bedarf nach Abkürzungen gibt. Wir fangen an, dass wir kurz mal erklären,

was denn diese ganzen Wortbestandteile in der Art dieser Logik bedeuten. Also zum einen

sagt der Name eben, dass die Logik über sogenannte Prädikate spricht. Wenn ich das lose mal aus dem

lateinischen Übersetz, ist ein Prädikat etwas, was etwas über etwas oder jemanden aussagt. Und das

schreiben wir typischerweise mit irgendwelchen Großbuchstaben. Sagen wir Groß P oder eben Groß Q,

Groß R, irgendwas aus der Nachbarschaft im lateinischen Alphabet. Und weil so ein Prädikat

etwas ist, was über etwas etwas aussagt, hat es eben Argumente. Sagen wir N Stück. Typisches

Beispiel wäre, wenn wir uns mal in der Welt umgucken, die wir so kennen, also sagen wir mal Zahlen,

würde man ein binäres Prädikat finden, kleiner gleich gut und dann wäre halt eine Aussage,

kleiner gleich von N, K. Das würde man also lesen. N ist kleiner gleich K und naja gut,

hier in diesem Falle würde man eben üblicherweise das Prädikat infix schreiben,

aber das ist reine Notationssache. So, das ist also das mit den Prädikaten und das kontrastiert

eben den reinen Aussagen, die wir aus der Aussagenlogik kennen, die also einfach irgendwelche

so atomaren Buchstaben sind, die nicht über etwas konkret ist, was Aussagen, die sind eben wahr oder

falsch und betreffen nicht irgendwelche Dinge, über die sie was sagen werden. Also hier diese

Aussage kleiner gleich N, K, eben zwei Zahlen N, K betrifft, über die hier etwas gesagt wird. So,

das ist also der Begriff des Prädikats. So, und dann ist die Frage, was heißt denn hier

erster Stufe? Nun, das betrifft die Variablen oder allgemeiner generell irgendwie bezeichnete

Entitäten, über die hier was gesagt wird. Hier in meinem Beispiel da dieses kleine X,

das war so eine Variabel. Ich werde also diese Variablen mit kleinen Buchstaben schreiben,

hoffe ich mal. Ich komme jedes Mal durcheinander, weil es mal so, mal so gemacht wird. Moment,

ja, werde ich. Und diese Variablen stehen für Individuen. Das hat im Moment noch keine formale

Bedeutung. Wir haben ja noch nicht mal die Syntax der Logik eingeführt, vollständig,

noch geschweige denn die Semantik. Aber im Vorgriff auf das, was dann semantisch kommen wird,

wird also die Semantik der Logik darauf basieren, dass wir also einen Grundbereich unterstellen an

Individuen, über denen wir diese Variablen interpretieren. Das können, je nachdem,

was die Theorie, über die wir gerade reden, nun betrifft, verschiedene Dinge sein. Strings,

Zahlen, lebende Menschen, Sterne, sonst was. Und die Bewohner dieses Grundbereichs,

die nennt man eben Individuen. Und die Variablen laufen über Bewohner des Grundbereichs,

also über Individuen. Und das steht im Gegensatz zu ausdrucksstärkeren Logiken höherer Stufe,

zum Beispiel in der Logik zweiter Stufe. Da hat man andere Arten von Variablen,

die man dann typischerweise, suggestiverweise auch mit anderen Buchstaben, zum Beispiel

im Großbuchstaben bezeichnet, die dann über Prädikate laufen, also sprich über Teilmengen

des Grundbereichs oder über Teilmengen von Tupeln über dem Grundbereich. So etwas macht dann eine

Logik viel ausdrucksstärker. Ich habe in der letzten Sitzung gesprochen über den Gödeltschen

Unvollständigkeitssatz, der also jede Logik trifft, die stark genug ist, die natürlichen

Zahlen eindeutig zu spezifizieren. Sobald ich solche Variablen einführen, führe, kann ich das.

Erläuter ich jetzt nicht, warum das so ist, aber solche Variablen erlauben es mir, die natürlichen

Zahlen eindeutig zu spezifizieren. Ich kann kurz gesagt eine Variable für die natürlichen Zahlen

einführen und sagen, die natürlichen Zahlen sind die kleinste Menge, die die Null enthält und