Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Jetzt leiten wir mal langsam zur Vorlesung über in dem Sinn, dass ich nochmal kurz auf alten Stoff zurückgehe,

um auch Ihnen nochmal vielleicht zu verdeutlichen, dass wir jetzt vielleicht schon ein paar Begrifflichkeiten entwickelt haben,

die uns erlauben, Dinge, die wir vorher nur möselig formulieren und beweisen konnten, jetzt etwas kompakter beweisen können.

Ich komme nochmal zurück auf diesen Satz, dieses Theorem 1.8, unser allererster Satz,

den hatten wir den etwas anspruchsvollen Namen Struktursatz gegeben.

Und der erste Punkt geht also darum, die Beziehung zwischen den Lösungsmengen eines allgemeinen inhomogenen Gleichungssystems

und seinem zugehörigen homogenen Gleichungssystem.

Und der erste Punkt, den hatten wir auch schon mal so hingeschrieben, ist, dass wir jetzt wenigstens schon mal die Aussage einigermaßen kompakt formulieren können.

Wir können sagen, wir haben eben eine Matrix mit M-Zeilen und N-Spalten.

Wir haben eine rechte Seite aus dem RM und wir schauen uns also das allgemeine Gleichungssystem AX gleich B an,

das mag Lösungen haben, das mag keine Lösungen haben, die fassen wir zu einer Lösungsmenge L zusammen.

Das sind also die X aus dem RN, sodass AX gleich B ist.

Und AX gleich B ist jetzt nicht mehr nur eine Kurzschreibweise für das Gleichungssystem, das sind wohldefinierte mathematische Begriffe.

A mal X ist das Matrix mal Vektor Produkt, ist also per Definition die Linearkombination der Spalten der Matrix A.

Das ist also die Lösungsmenge des inhomogenen Problems und die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Problems,

die ja immer nicht leer ist, weil immer die null, die triviale Lösung dazu gehört,

ist eben entsprechend mit der gleichen Matrix A formuliert, aber jetzt mit der rechten Seite null.

Und die Aussage war ja die, wenn das inhomogene System eine Lösung hat, das heißt also jetzt in dieser Schreibweise,

wenn L nicht die leere Menge ist, dann gibt es einen Zusammenhang zwischen L und L0.

Und diesen Zusammenhang können wir jetzt ganz kurz schreiben, also sei L0 nicht die leere Menge,

dann gibt es irgendein Element in L0, dem gebe ich mal jetzt irgendeinen Namen, sagen wir mal Y oder wie auch immer, Y aus L.

Ich picke mir also eines dieser existierenden Lösungselemente heraus, es mag eins geben, es mag unendlich viele geben.

Und die Aussage ist dann die, der Zusammenhang, und das können wir jetzt recht kompakt schreiben,

der Zusammenhang zwischen den Lösungsmengen ist einfach die L, die Lösungsmenge des inhomogenen Systems,

ist diese feste spezielle Partikuläre, wie immer Sie dazu sagen wollen, Lösung Y plus die Lösungsmenge des Leeren,

die Lösungsmenge des inhomogenen, Entschuldigung, die Lösungsmenge des homogenen Problems.

Was bedeutet jetzt dieses Y0 plus L0?

Hundertprozentig haben wir diese Schreibweise nicht eingeführt, aber was wird darunter wohl gemeint sein?

In einer Schreibweise, die wir schon eingeführt haben?

Genau, bei Y ist ja ein Element und keine Menge, wir haben ja definiert, wie man Mengen addiert.

Also wie wird man das jetzt auf die Mengenaddition zurückführen?

Welche Menge ist da gemeint, welche Möglichkeiten gibt es für den einen Summanden?

Für den zweiten Summanden zu allen Elementen aus L0, aber für den ersten Summanden, wie viele Möglichkeiten habe ich da?

Also was meine ich, wenn ich schreibe, ich schreibe so ein bisschen neutraler hin, ein festes Element X plus ein Unterraum U,

was meine ich damit sinnvollerweise?

Im Sinne der Mengenaddition hier, den X haben wir nicht viel zu variieren, da soll es immer X sein, der Summand.

Das heißt also die Menge, wo alle Möglichkeiten drin sind, ist die Menge, die nur aus dem X besteht.

Und hier im zweiten Summanden, da darf ich eben durch die ganze Menge, durch den ganzen Unterraum U durchlaufen.

Das ist genau das, was Sie schon jetzt im Sinn haben, nämlich alle Summanden des Typs X plus ein beliebiges Element aus U,

beziehungsweise im obigen Fall Y plus ein beliebiges Element aus N0.

So, aber wir können es nicht nur etwas kompakter formulieren, wir können es auch ein bisschen unserem Beweis,

der sich überhaupt nicht ändert gegenüber dem Beweis, den wir gemacht haben, etwas kompakter hinschreiben.

Wir starten mal, wir müssen hier zwei Teilmengenbeziehungen zeigen, wenn wir eine Gleichheit von Mengen zeigen wollen.

Wir starten also mal, wir zeigen mal die L Teilmenge Y plus L0 Beziehung.

Das heißt, wir starten mal mit einem beliebigen X aus L. Was heißt das?

Per Definitionen heißt das AX gleich B. Daraus folgt aber, wenn ich jetzt A auf die Differenz von X und Y loslasse,

und jetzt müssen wir das nicht mehr mühselig mit Indizes hinschreiben, jetzt nutzen wir eben die Eigenschaften,

die die Linearität des Matrix mal Vektorprodukt aus und das sagt uns, das ist A mal X minus A mal Y

und das ist offensichtlich B minus B und das ist Null.