Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, grüß Gott. In der letzten Vorlesung haben wir ja über Oberflächen gesprochen,

also Flächen, die zweidimensionale Objekte sind, die wir im Erhoch 3 eingebettet finden.

Das wird durch eine Abbildung F modelliert. Die Abbildung F ist unsere Parametrisierung

der Fläche und wir haben zunächst angeschaut, wie man dann Flächeninhalte berechnen kann.

In diesem Fall also zum Beispiel sowas wie eine Kugeloberfläche. Und jetzt gehen wir

etwas weiter. Wir schauen uns mal die Geometrie dieser Flächen genauer an. So, hier schauen wir

mal in die Tafel hinein. Also das soll so eine Art Hügel sein. Und da können Sie sicher eine

Tangentialebene vorstellen. Und die Richtung der Tangentialebene ändert sich mit jedem Punkt.

Also die Tangentialebene ist von dem Aufsetzpunkt abhängig. Und für die Beschreibung dieser

Tangentialebene gibt es ja verschiedene Möglichkeiten. Das wissen Sie aus dem ersten

Semester. Unter anderem kann man Ebenen mit der hessischen Normalform beschreiben und dazu

braucht man einen normalen Vektor. Zu diesen Tangentialebenen können wir auch normalen

Vektoren finden. Die stehen dann senkrecht auf den Tangentialebenen.

Und um diesen normalen Vektor im R hoch drei berechnen zu können, können wir ausnutzen,

dass es das Kreuzprodukt gibt im R hoch drei. Also wenn wir zwei Vektoren haben, die in der

Tangentialebene sind, also die die Tangentialebene aufspannen, dann können wir eine normalen

Richtung erhalten, indem wir einfach das Kreuzprodukt bilden. Unsere Ebene, unsere Fläche

wird ja durch die Abbildung F beschrieben und zu dieser Abbildung F gehört eine Funktionalmatrix

mit den Spalten FU und FV. Und FU und FV sind linear unabhängig. Die Funktionalmatrix hat

ja nach Voraussetzung den Rang zwei. Das heißt, die beiden spannen diese Tangentialebene auf.

Um den normalen Vektor zu bekommen, kann ich also das Kreuzprodukt FV, Kreuz FU oder FU,

Kreuz FV bilden und dann erhalte ich eine Richtung, die senkrecht auf dieser Tangentialebene steht.

Und so erhält man dann normalen Vektoren zu der Fläche. Bei einer Ebene ist der normalen

Vektor konstant, also der ist der gleiche für alle Punkte in der Ebene. Bei so einer gekrümmten

Fläche ist das Wesentliche, dass der normalen Vektor von Punkt zu Punkt verschieden sein kann.

Der ändert sich also mit dem Punkt, auf dem man sitzt. Jetzt also die Definition eines normalen

Vektors. Definition, es sei D Teilmenge R hoch zwei offen. D ist ja der Definitionsbereich,

für die Abbildung Groß F, die die Fläche parametrisiert. Diese Abbildung F soll sogar

auf D quer, also auf dem Abschluss von D definiert sein und hat Werte im R hoch drei. Die Fläche ist

ja im R hoch drei eingebettet, also durch dieses Groß F sei eine Fläche gegeben. Dann heißt der

normalen Vektor, bekommt jetzt einen Namen, den nennen wir N und der hängt auch von den zwei

Parametern U und V ab. Der sitzt dann natürlich an dem Punkt F von U, V auf der Fläche und der soll

die Länge eins haben, deshalb müssen wir ihn noch normieren. Aber im Z-A steht zunächst F U von U,

V Kreuz F V von U, V. Also das ist ein Vektor, der zeigt in die richtige Richtung, nämlich normal zu

unserer Tangentialebene und der wird jetzt noch auf die Länge eins normiert, indem wir ihn durch die

Norm von F U von U, V Kreuz F V von U, V dividieren. Das ist unser normalen Vektor, N von U, V.

Normaler Vektor der Fläche F, Skript F.

Im Punkt F von U, V. Sie erinnern sich an die Definition der Fläche, da haben wir gerade gefordert,

dass F U und F V in jedem Punkt linear unabhängig sind, deshalb ist dann dieser normalen Vektor auch

ungleich Null. Tatsächlich spannen ja F U und F V gerade die Tangentialebene auf und das notieren

wir jetzt auch noch. F U von U, V und F V von U, V sind für alle U, V aus D linear unabhängig.

Und spannen die Tangentialebene auf.

An die Fläche Skript F. Im Punkt Y Null gleich F von U, V auf.

Die Tangentialebene kann man jetzt natürlich auch noch als Menge beschreiben. In der Parameterdarstellung

der Ebene, das sind ja die Linearkombinationen von F U und F V und dazu wird noch dieser Aufpunkt

Y Null addiert. Das ist ja keine Ursprungsebene, sondern eine verschobene Ebene, also nicht

notwendig ein Unterraum. Tangentialebene ist gleich in der Parameterdarstellung die Menge

Y Null, ist der Aufpunkt, plus Lambda mal F U von U, V plus Mu mal F V von U, V. Dabei

sind Lambda und Mu reelle Zahlen. Das ist die Parameterdarstellung der Tangentialebene,