Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen zur siebten Vorlesung. Heute werden wir uns wie versprochen dem

Spektralsatz in seiner ganz allgemeinen Formulierung widmen und wir hatten ja letztes Mal uns angeschaut,

dass wenn wir auf einem zunächst mal beliebigdimensionalen Hilbertraum einen

linearen Operator anschauen, A, der hat dann einen Definitionsbereich dA, der

sicherlich in dem vorgegebenen Hilbertraum liegen soll und wenn das eine lineare Abbildung ist,

hatten wir dazu die Adjungierte angeschaut. Die Adjungierte Abbildung oder kurz die Adjungierte.

Und die Adjungierte war eine Abbildung, die haben wir einfach mit A dolch bezeichnet.

Die hatte zunächst mal einen anderen Definitionsbereich, sollte auch wieder eine

lineare Abbildung sein in den Hilbertraum und wir haben die in zwei Schritten definiert,

nämlich zunächst mal haben wir den Definitionsbereich der Adjungierten definiert,

nämlich als ALDI-Alpha aus dem gesamten Hilbertraum. Für die gilt, dass für alle

Better, die aus dem Definitionsbereich der ursprünglichen Abbildung A kamen,

ein Gamma existiert aus dem ganzen Hilbertraum wiederum, sodass Alpha,

inneres Produkt mit A bettter, gleich Gamma bettter ist. Also für all die Alpha,

für die ein solches Gamma existiert und dann der zweite Schritt war die eigentliche Funktionsvorschrift

vorzugeben, nämlich dass für genau diese Alpha der Funktionswert exakt dieses Gamma ist. Das war

die adjungierte Abbildung vom letzten Mal und da hatten wir dann eine Definition, dass eine Abbildung

A selbst adjungiert heißt und das war die entscheidende Definition für die gesamte Quantenmechanik,

wie wir sehen werden. A selbst adjungiert, falls, also per Definition, das A und das A dolch,

also das A und seine adjungierte als Abbildungen völlig übereinstimmen und dazu gehört aus

Mathematikersicht sicherlich, aber wir betonen das nochmal extra, dazu gehört insbesondere,

dass die beiden Definitionsbereiche übereinstimmen. Eine solche Abbildung haben wir selbst adjungierte

Abbildung genannt und die werden in der Quantenmechanik, das aber nur als Vorausblick,

das können Sie jetzt, das gibt es auch eigentlich nicht zu verstehen, ist ja zunächst mal Mathematik,

das werden die Observablen in der Quantenmechanik sein und wir hatten dann schließlich noch den

Spektralsatz formuliert und während alles, was hier steht zunächst mal für beliebige Dimensionen,

dem H, ich schreibe jetzt mal informell, kleiner oder aber auch gleich unendlich, gilt, so galt

das für den Spektralsatz in der Version, in der Kleinkinderversion, in der wir ihn formuliert

haben, galt das nicht. Der Spektralsatz, den hatten wir zunächst nur formuliert für endlich

dimensionale Hilberträume bzw. natürlich für selbst adjungierte Abbildungen auf diesen

endlich dimensionalen Hilberträumen, also hier steht kein Gleichheitszeichen im Gegensatz zu

diesen Konstruktionen und wir hatten da den Spektralsatz, dass wenn A ein selbst adjungierter

Operator ist, hatten wir gesagt, dann existieren Projektoren und zwar ortogonale Projektoren,

P, I, A, sodass, ich gebe das hier nur in verkürzter Form wieder, dass wir den gesamten Operator A

darstellen können als eine Summe von gewichteten Projektoren. Die Gewichtung ist gegeben durch

die Eigenwerte A und ich habe letztes Mal schon gesagt, wir definieren da so was wie das Spektrum

von A und für den, für lineare Operatoren auf einem endlich dimensionalen Hilbertraum ist dieses

Spektrum einfach die Menge der Eigenwerte. Was ein Eigenwert ist, hatte ich eben auch definiert,

wir werden heute das Spektrum noch ein bisschen genauer definieren, aber für diesen Fall hier,

für diesen Fall all das soll ich nicht unterstreichen, da wird es zum Gleichheitrection,

also für diesen Fall hier gilt das, A mal und die Projektoren, die hießen P, I, A und das waren

tatsächlich Projektoren. Das heißt, die haben uns vom Hilbertraum-Linear auf den Hilbertraum genommen,

so, dass wenn ich den Operator quadriere, kommt wieder der Operator raus und wenn ich den Operator

oder P-alg a komponiere mit einem P-alg b, dann kommt Null raus, wenn b ungleich a ist.

Okay, also das war unser Spektralsatz im Endlichtdimensionalen.

Und es ist das, wie man es aus der Linie an Algebra kennt.

Man könnte auch sagen, hier dieses P-alg a, wenn Sie sich das als Matrizen vorstellen,

das sind so Matrizen, da stehen überall Nullen außer irgendwo auf der Diagonal.

Also hier stehen überall Nullen, da stehen irgendwie vielleicht mal zwei Einsen.