Wir haben uns bisher in der Vorlesung um analytische Lösungsverfahren für lineare gewöhnliche

Differentialgleichung erster Ordnung hauptsächlich beschäftigt und auch schon in den letzten Videos

gesehen, dass wir beliebige Differentialgleichung höherer Ordnung auf ein System von Differentialgleichung

erster Ordnung zurückführen können und darum können wir auch einfach bei der Betrachtung dieser

Differentialgleichung immer davon ausgehen, dass wir ein System erster Ordnung vorliegen haben.

Bisher haben wir jedoch die theoretischen Überlegungen zur Existenz und der Eindeutigkeit

von Lösungen dieser Differentialgleichung vollkommen vernachlässigt. Uns eigentlich nie gefragt,

welche Bedingungen müssen denn gelten, damit eine Differentialgleichung löstbar ist, also eine

Lösung existiert und wann diese Lösung sogar eindeutig ist. Und darum werden wir jetzt dem

folgenden Abschnitt dieser Vorlesung, der auch gleichzeitig der letzte Teil der Vorlesung ist,

der Frage widmen, wann ist eine Differentialgleichung löstbar und wann ist diese Lösung

eindeutig. Bevor jetzt damit beginne diese Fragen zu beantworten, wollen wir noch mal

der Vollständigkeit halber einführen, was wir unter einem Differentialgleichungssystem

erster Ordnung sind. Das haben wir bisher immer nur implizit, also zwischen den Zeilen, angegeben,

aber wir wollen das Ganze jetzt mal konkret definieren, da wir uns im folgenden nur noch

mit solchen Differentialgleichungssystemen beschäftigen werden. Das heißt, wir beginnen

in diesem Vorlesungsvideo mit der folgenden Frage der folgenden Definition und zwar

Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Erster Ordnung. Wir brauchen jetzt eine offene Teilmänglichkeit,

auf der unsere rechte Seite einer explizit formulierten Differentialgleichung definiert

ist und das ist häufig die Funktion f und dafür brauchen wir einen Definitionsbereich, den nennen wir g

und g sei immer eine Teilmenge der reellen Zahlen, das wird unser Funktionsargument x sein und dann

die Auswertung der unbekannten Funktion y und all ihrer Ableitungen, das ist dann ein Vektor

im Rho N und wir sagen, das ist eine offene Teilmenge und wir betrachten die rechte Seite der

Differentialgleichung, die nennen wir gerade schon gesagt f. f bildet jetzt ab von diesem

Definitionsbereich g in und das ist jetzt hier das Besondere, darum werde ich vielleicht in rot

schreiben, nicht mehr die reellen Zahlen, so wie wir es bisher gemacht haben bei Differentialgleichung

Erster Ordnung, sondern in den Rho N, das heißt wir betrachten jetzt eine vectorwertige Funktion und

die bildet ab das Paar x und die Funktion y sozusagen ausgewertet, bildet sie ab auf f von x und y und

das sei eine stetige vectorwertige Funktion, das heißt wir brauchen schon mal Stetigkeit auf der rechten Seite

und jetzt können wir definieren, was wir unter einem System von N-Differentialgleichung

Erster Ordnung verstehen, das können wir jetzt nicht sehr kompakt schreiben, ähnlich wie im

skalarwertigen Fall, wie folgt, dann nennen wir folgende Gleichung, nämlich, wie Sie es schon kennen,

y Strich von x, die erste Ableitung von x gleich der rechten Seite, nämlich f von x und y ausgewertet

in x, das nennen wir ein System von N-Differentialgleichung Erster Ordnung und zwar ein System von N-Differentialgleichungen,

das muss man jetzt komponentenweise verstehen Erste Ordnung, da die höchste auftretende Ableitung die

erste Ableitung ist und wir wissen, dass wir alle höheren Ordnung von Differentialgleichung in diese

überführen können. Genau und jetzt können wir noch definieren, was eine Lösung dieser Gleichung

erfüllen muss, das war sozusagen der erste Teil, wir wissen jetzt, was ein Differentialgleichungssystem

ist, was müssen wir an die Lösung fordern, damit wir das Lösung nennen können, also eine Lösung

dieser Gleichung ist eine auf dem offenen Intervall i, hatten wir es immer genannt,

i.t.r definierte Funktion und sie muss nicht nur dort definiert sein, sondern sie soll auch total

differenzierbar sein, vorher haben wir nur gefordert, dass die Funktion differenzierbar ist,

aber jetzt sind wir vectorwertig, das heißt wir haben jetzt eine Abbildung in den R hoch N und wir

nennen diese Funktion Phi, unsere Lösung die bildet ab von diesem Intervall aus R in die

reellen zahlen hoch N, also vectorwertig und für die müssen folgende Eigenschaften gelten, das wird

ähnlich sein wie im letzten Video, wir werden wieder zwei Eigenschaften brauchen, die eine dient

der Wohldefiniertheit der zweiten Gleichung, das heißt wir schauen uns erstmal hier den Graph der

Funktion ein, der Graph wir nennen ihn hier groß Gamma in Abhängigkeit der Funktion Phi, von der

Funktion Phi, der muss ganz in der Teilmenge g liegen, damit eben die rechte Seite Differential-

gleichung wohl definiert ist, liegt in der Teilmenge g und das können wir wie folgt definieren, wir