In diesem Video diskutieren wir die entscheidende Eigenschaft, die uns für Existenz und Eindeutigkeit

von Lösungen, Differentialgleichung garantiert.

Und zwar wird es sich um das Kriterium der Lipschitz-Stätigkeit bzw. der lokalen Lipschitz-Stätigkeit

der Lösung befassen.

Und wir werden zuerst, bevor wir einen Eindeutigkeitssatz formulieren, ein sehr hilfreiches Lämmer

uns anschauen, das uns sagt, wann eine Funktion lokal-lipschitz-stätig ist.

Dazu beginnen wir direkt mit folgendem Lämmer und nennen das Ganze lokal-lipschitz-Stätigkeit.

Was brauchen wir dafür?

Wir definieren uns wieder eine passende Definitionsmenge g, also sei g Teilmenge r Kreuz r hoch n.

Wir sind wieder im vektorwertigen Fall, eine offene Teilmenge.

Und wir betrachten die rechte Seite an der Differentialgleichung f, also f bildet ab

von g nach r hoch n.

Und zwar möchten wir, dass diese Funktion nicht nur stetig ist wie bisher, sondern stetig

partiell differenzierbar bezüglich der zweiten Variable y.

Also eine, bezüglich der y-Variable.

Und y hatten wir gesagt, ist ein Vektor, also mit n Einträgen, y1 bis yn.

Und die soll bezüglich dieser Variablen sogar stetig partiell differenzierbar sein.

Stetig partiell diffbare Funktion.

Das heißt, wir wollen jetzt mehr als was wir bisher uns betrachtet haben.

Sonst war die Funktion einfach nur stetig.

Jetzt hast du dieses Hilfslemmer, dann ist die Funktion f lokal Lipschitz stetig in

der Menge g, bezüglich dieser y-Variable.

Das ist die Funktion f lokal Lipschitz stetig, bezüglich der y-Variable.

Und das garantiert uns, dass Lösungen nicht unendlich schnell wachsen, sondern im Prinzip

ein begrenztes Wachstum haben.

So muss man das Ganze interpretieren.

Der Beweis ist nicht sehr lang, den können wir an der Stelle noch einfügen.

Was machen wir dafür?

Wir brauchen irgendein Punkt, den wir uns anschauen, für den wir eine lokale Lipschitz

Stetigkeit nachweisen wollen.

Seien wir ein Punkt, den nennen wir a b, also sei a, b ein Element dieser Definitionsmenge

g, ein beliebiger Punkt.

Jetzt finden wir dadurch, dass wir in offenen Mengen sind, ein eher größer Null, sodass

folgende kompakte Menge noch in Erhaltnis ist.

Es existiert dieses R, das können wir uns interpretieren wie der Radius eines Balles,

sodass die kompakte Menge, das heißt wir nehmen den Abschluss, und das ist der R-Ball um den

Punkt a b herum.

Schreiben wir so auf.

Das sind im Prinzip alle x und y aus R Kreuz R auch N.

Wir werden gleich sehen, dass die auch aus g sind.

Für die gilt, dass die komponentenweise kleiner gleich R sind.

Im x-Argument sind wir eindimensional, im y-Argument n-dimensional, das heißt wir können hier einmal

den Betrag betrachten, x-a kleiner gleich R.

Und für die Vektorwertigen nehmen wir die Norm, das heißt hier sagen wir y-b muss auch

kleiner gleich R sein.

Das ist dieser Ball und der muss ganz in g liegen.

Gut, wenn wir das Ganze haben, schauen wir uns welche Voraussetzungen wir haben für

diesen Satz.

Wir sagen die Funktion ist stetig partiell differenzierbar bezüglich dem y-Argument.

Das heißt insbesondere, wenn wir uns die Jacobi-Matrix von f bezüglich dieser y-Variabel