In diesem letzten Vorlesungsvideo, das noch die Existenz von Lösungen von gewöhnlichen

Differentialgleichungen bereitstellt, wollen wir uns mit einer sehr berühmten Aussage zur

Existenz von Lösungen beschäftigen, nämlich dem sogenannten Existenzsatz von Picard und de L'oeuf.

Und diesen werden wir in der lokalen Fassung betrachten. Es gibt auch eine Version mit

strengeren Bedingungen, die globale Lösung beschreibt, aber wir wollen uns hier mit einer lokalen

Begnügen, da diese schwächere Voraussetzung hat und besser in das Konzept unserer Vorlesung passt.

Das heißt, wir formulieren direkt den Satz von Picard und de L'oeuf.

Und hier wird auch wieder die Schlüsselvoraussetzung sein, dass eine Funktion lokal-libschitz-stätig

auf dem Definitionsgebiet ist, bezüglich der y-Variable.

Also, wir setzen wieder voraus, wir haben einen Definitionsbereich G, Teilmenge R Kreuz R hoch N

für die rechte Seite der Differentialgleichung, das ist eine offene Teilmenge.

Und wir haben eine Funktion, das ist die rechte Seite, die eben von G in den R hoch N abbildet,

wir sind vectorwertig und die Funktion soll stetig sein.

Und wir fordern zusätzlich, dass die lokal-libschitz-stätig bezüglich der y-Variablen ist.

Stärkere Bedingungen wäre gewesen, wir schauen uns nur stetig partiell differenzierbare rechte

Seiten an, dafür hatten wir das Lemma im letzten Vorlesungsvideo.

Aber wir wollen schwächere Bedingungen auch stellen können, das heißt, wir wollen lokal-libschitz

Stetigkeit haben.

lokal-libschitz-stetig auf dieser Definitionsmenge G bezüglich der y-Variablen ist.

Dann sagt dieser Existenzsatz nach Picar-Linde-Loeff, dass zu jedem Anfangswert eine Epsilon-Umgebung

existiert, sodass eine Funktion innerhalb dieser Epsilon-Umgebung die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung auch lösen kann.

Also, dann existiert zu jedem Anfangswert x0c aus G, ja, also fordern dann wieder Phi

von x0 ist gleich c, existiert ein Epsilon größer 0 und eine Lösung, ich schreibe mal

eine lokale Lösung, das wird unsere Funktion Phi sein und dies eben definiert in dieser

lokalen Umgebung um den Anfangswert, also von x0-Epsilon bis x0-Epsilon und bildet ab

nach rn der gewöhnlichen Differentialgleichung, die uns immer interessiert, nämlich die erste

Ordnung, nämlich y' von x ist gleich f von x, y von x unter der Anfangsbedingung, Anfangswert

Bedingungen, dass Phi von x0 gerade gleich c ist.

Ja, also dieser berühmte Satz sagt aus, wenn wir eine lokalen Lipschitz stetige rechte

Seite haben und einen Anfangswert, dann existiert immer eine lokale Lösung um den Anfangswert

der Differentialgleichung, ist eine sehr starke Aussage.

Der Beweis ist leider ziemlich technisch und kompliziert, braucht circa zwei Seiten, zwei

DIN A4 Seiten, da habe ich mich entschlossen an der Stelle einfach auf den Forster zu verweisen.

Das Standardwerk, das diesen Beweis durchexerziert, das wer interessiert ist, möge dort nachschauen.

Siehe Forster und zwar in der Fassung von 2017 wäre das in Paragraph 12 Satz 4.

Und wie eingangs bemerkt, gibt es auch eine strengere Formulierung des Satzes, die globale

Lösung bereitstellt, dafür muss man aber striktere Bedingungen stellen.

Und wir wollen jetzt abschließend noch ein Beispiel betrachten, das uns sagt, dass so

eine Existenzaussage zwar schön ist, aber dieses Epsilon unter Umständen besonders klein

sein kann.

Das heißt, selbst wenn wir eine lokal Lipschitz stetige Funktion haben auf der rechten Seite,

dann kann es immer noch sein, dass die Umgebung, in der eine Lösung definiert ist, so klein

ist, dass sie fast schon wieder uninteressant ist.

Dazu wollen wir uns folgendes einfaches Beispiel anschauen.

Wir betrachten wieder, das ist häufig bei solchen Gegenbeispielen ja wieder eine nicht lineare

gewöhnliche Differentialgleichung Erster Ordnung.

Über Algun dokumentieren Brut teams, dieige universes oder

Sorry, Gそして

Stalgleit정inie DP, der