Wichtige Eigenschaften eines Endomorphismus können wir bereits am Rang und am Spektrum

einer darstellenden Matrix ablesen. Es ist leider aber so, dass diese Charakteristika,

die wir gerne sehen würden, im Allgemeinen, bis auf wenige Spezialfälle, sich nicht direkt

an einer Matrix ablesen lassen. Gerade dann, wenn sie voll besetzt ist und beliebige Einträge hat,

können wir keine Aussagen treffen. Und darum wollen wir uns in diesem Video mit der Frage

beschäftigen, wie können wir eine Basis so wählen, dass ein Endomorphismus durch die darstellenden

Matrix in einer Gestalt repräsentiert wird, sodass diese wichtigen Eigenschaften wie der

Rang und die Eigenwert direkt ablesbar sein sollen. Das heißt, wir beschäftigen uns heute mit dem

Begriff der Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen und Matrizen. Und wir werden sehen, dass wir eine

Äquivalenzrelation definieren können, die es uns erlaubt, eine darstellende Matrix zu finden,

die in einer Diagonalgestalt gegeben ist und uns genau dort die Eigenwerte und den Rang liefern.

Und nebenher noch nette Eigenschaften haben, nämlich dass sie wenige Einträge hat, die ungleich

Null sind und damit für numerische Berechnungen besonders geeignet sind. Bevor wir den Begriff der

Diagonalisierbarkeit einführen, brauchen wir erst zwei Hilfsdefinitionen. Die erste Definition ist

die der Äquivalenz. Zwei Matrizen. Also sind uns zwei Matrizen gegeben und die müssen in dem Fall

mal nicht quadratisch sein. Das heißt zwei Matrizen A und B aus dem Körper und jetzt sagen

wir nicht quadratisch, sondern n Kreuz M. Die nennen wir Äquivalent. Wann machen wir das?

Naja, wenn es eine Matrix gibt, die quadratisch und regulär ist und die muss folgende Gestalt

haben. Wenn es oder wir brauchen zwei Matrizen eher gesagt und die wollen wir im folgenden S

und T benennen. Es soll hierbei aus G klein M über K sein. Das sind die quadratischen regulären

Matrizen der Größe M Kreuz N oder nehmen wir N besser, sonst muss ich die Indizierung ändern.

Das heißt eine N Kreuz N Matrix über K, die regulär ist und eine Matrix T, die dementsprechend

M Kreuz N sein muss. Auch wieder über K. So das folgendes gilt. Es ist im Prinzip eine

Transformation durchführen, die es mir erlaubt von A zu B zu kommen mit Hilfe dieser beiden

regulären Matrizen und ich muss dafür darstellen können, dass die wichtige Eigenschaft, die wir

brauchen, B soll sein. S von links angewendet auf A und von der rechten Seite T inversion

multipliziert und da wir die Matrizen als regulär angenommen haben, ist die Inverse

hier auch wirklich definiert. Das heißt da kriegen wir keine Probleme. Gut, das heißt,

wenn ich zwei reguläre Matrizen finde, die eines M Kreuz M, die anderes N Kreuz N und durch

geschickte Multiplikation von links und rechts kann ich die Matrix A in B überführen, dann nenne

ich diese beiden Matrizen A und B äquivalent. Das heißt, ich muss nur eine Transformation finden,

die das erfüllt. Das ist jetzt eine relativ allgemeine Annahme. Wir können das Ganze noch

ein bisschen einschränken und dann sind wir auch schon bei der Äquivalenzrelation, die ich

angesprochen habe, werden jetzt den Begriff der ähnlichen Matrizen oder auch konjugierten

Matrizen einführen. Das heißt, wir bekommen eine neue Definition. Ähnlichkeit. Wir schauen uns

hier auch wieder zwei Matrizen an, aber in dem Fall machen wir die Transformation im selben Raum.

Das heißt, das wird speziell für unsere Endomorphismen wichtig sein. Zwei Matrizen A und B,

in dem Fall aus dem Körper hoch N Kreuz N, heißen, ich nenne sie jetzt hier einmal ähnlich,

man findet in der Literatur auch den Begriff konjugiert. Ich schreibe es mal dazu. Konjugiert

zueinander. Falls es in dem Fall eine spezielle Transformationsmatrix gibt,

die muss auch wieder regulär und quadratisch sein. Und zwar S in dem Fall aus N Kreuz N,

die regulär ist. Und dann muss diese spezielle Transformation nämlich gelten. Ich muss B erhalten

aus A, indem ich von links die Matrix S multipliziere an A und von rechts, das ist jetzt speziell ihr

Inversus. Und im Endeffekt ist das jetzt ein Spezialfall der äquivalenten Matrizen. Das ist

die erste Beobachtung, die wir hier machen können. Das heißt, Ähnlichkeit ist ein Spezialfall von

Äquivalenz. Nicht nur bezüglich der Dimension, sondern auch bezüglich der Wahl der zweiten

Transformationsmatrix T. Wie sehen wir das ein? Dafür müssen wir nur wählen M gleich N, das heißt,

wir bleiben im selben Vektoraum und wir müssen uns definieren, dass die Inverse der Transformationsmatrix

T gerade die Inverse der Matrix S ist. Das heißt, wir schauen uns eigentlich nur eine

Transformationsmatrix an und ihre Inverse. Genau, das Ganze liefert uns eine Äquivalenz