Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo. Gestern sind wir ja bei der Definition des Riemann-Integrals stehengeblieben. Ich

wiederhole die Definition noch mal kurz. Die Konstruktion funktionierte nur für

beschränkte Funktionen, weil wir mit den Suprema und Infima der Funktion auf Teilintervallen des

Integrationsintervalls gearbeitet haben und damit die existieren, brauchen wir die Beschränktheit.

Und für die beschränkten Funktionen haben wir ein oberes Riemann-Integral konstruiert und ein

unteres Riemann-Integral. Die existieren immer und wenn die übereinstimmen, dann heißt die Funktion

integrierbar. Und diese unteren und oberen Integrale haben wir über Untersummen und

Obersummen konstruiert. Dafür haben wir zunächst eine Zerlegung des Integrationsintervalls

definiert, einzelne Punkte da eingefügt und auf diesen Stückchen, auf diesen Teilintervallen

haben wir dann das Infimum und das Supremum der Funktion betrachtet und das hat dann Rechteckflächen

definiert, also Länge dieses Teilintervalls mal Infimum für die Untersummen bzw. mal Supremum

für die Obersummen und die wurden dann aufsummiert und diese Summation ergibt dann eben die Untersummen

und die Obersummen. Die Untersummen sind immer unter der Integralfläche und die Obersummen sind

immer oberhalb oder größer als die wahre Integralfläche. Und wenn das Infimum der Obersummen

gleich diesem Supremum der Untersummen ist, dann heißt die Funktion Riemann integrierbar.

Das ist die Funktion Riemann integrierbar.

Also das ist das untere Integral, dann nimmt man das Supremum über alle Zerlegungen und

zwar das Supremum aller Untersummen. Das ist dann das untere Riemann Integral und für

die Riemann Integrierbarkeit muss das gleich sein mit dem oberen Integral und das ist das

Infimum wieder über alle Zerlegungen Z des Intervalls a, b der Obersummen. Also falls

diese beiden Zahlen übereinstimmen, dann nennen wir die Funktion Riemann integrierbar und

ordnen ihr ein Integral zu und das Integral ist dann diese Zahl, also entweder das obere

und das untere Integral, die stimmen ja dann überein und das nennt man mit der üblichen

Bezeichnung Integral von a bis b f von x dx. Das ist ja dann eindeutig bestimmt.

Die Namen kennen Sie glaube ich schon, das a das unten steht heißt also Untergrenze

und das b das oben steht Obergrenze.

Und dieses Intervall a, b nennt man in dem Zusammenhang des Integrationsintervalls.

Und die Funktion f die wird ja integriert, die nennt man dann den Integranden. Und

das f hängt ja von x ab und hier wird bezüglich x integriert, das x heißt dann Integrationsvariable.

Und diese Integrationsvariable, die ist ja nur eine interne Variable, also die steht in dem f,

das hängt von x ab und dann wird halt dx integriert. Man kann stattdessen auch f von u du schreiben,

das ist genau das gleiche, das hat die gleiche Bedeutung.

Bemerkung Integral von a bis b f von x dx ist gleich dem Integral von a bis b von f von u du.

Also auf den Namen der Integrationsvariable kommt es nicht an,

Sie können auch f von v dv schreiben oder f von t dt, das ist alles unwichtig für die Zahl,

die da herauskommt. Auf den Namen der Integrationskonstante der Integrationsvariablen

kommt es nicht an. Wir werden später auch Methoden sehen, mit denen wir diese Integrale

ausrechnen können. Bei dem Ausrechnen kann es ja passieren, dass Sie eine negative Zahl,

also z.B. minus 7, herauskommen und wenn Sie eine Funktion integrieren, die immer positiv ist,

also die nur positive Werte hat, dann kann das nicht sein. Und deshalb kann es sehr nützlich sein,

das zu wissen. Also wenn wir eine positive Funktion integrieren, die größer gleich 0 ist,

dann ist das Integral auch immer größer gleich 0. Ist f größer gleich 0 und integrierbar

auf dem Intervall a b. So ist das Integral von a bis b von f von x dx größer gleich 0. Und das

ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, also wie man sich das vorstellt,

das Integral als Fläche.

Also da ist x f von x a und b. Das Integral ist dann diese Fläche.

Mit unserer Definition über die Zerlegungen, die Untersummen und die Obersummen,

ist ja die Integralberechnung erstmal kompliziert. Das geht aber auch trotzdem für manche Funktionen

einfach, nämlich für die konstanten Funktionen. Da wissen wir sowieso schon, was rauskommt,