Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, dann fangen wir mal an. In dem Kapitel über Integralsätze haben wir jetzt ja schon über den

Satz von Green und den Satz von Gauss gesprochen und heute kommt dann der Satz von Stokes als

letzter Integralsatz dran. In diesen Integralsätzen werden ja jeweils verschiedene Integraltypen

verknüpft. Beim Satz von Gauss haben wir so eine Oberfläche und das entsprechende Integral über

das Gesamtvolumen wird verknüpft mit dem Integral über die Oberfläche. Bei dem Satz von Green waren

wir ja im R hoch zwei und hatten da einerseits so eine Fläche D und andererseits das Kurvenintegral

über den Rand dieser Fläche. Also ein zweidimensionales Integral und ein

eidimensionales Integral und das ist im Wesentlichen bei dem Satz von Stokes genauso, bloß wird diese

Fläche jetzt in den R hoch drei eingebettet. Also das ist so etwas gekrümmtes im R hoch drei,

zum Beispiel so etwas, so ein gekrümmtes Rechteck und da haben sie auch einen Rand und über die

Randkurve können sie integrieren und über die gesamte Fläche. Und dabei spielt die Rotation des

Vektorfeldes, das da integriert wird, eine wesentliche Rolle. Die Rotation ist ja mit dem

Kreuzprodukt definiert, daher als Erinnerung noch mal die Definition des Kreuzproduktes.

Erinnerung, wie war das Kreuzprodukt definiert? Das Kreuzprodukt haben wir ja auch schon verwendet,

um zu Flächen diese normalen Vektoren auszurechnen. Wenn wir zwei Vektoren a und b im R hoch drei

haben, dann ist das Kreuzprodukt definiert als a1, a2, a3, sind die Komponenten von a gekreuzt mit b1,

b2, b3, mit diesen drei Komponenten. Also das Kreuzprodukt ist auch wieder ein Vektor. Die erste

Komponente ist a2 mal b3 minus a3 mal b2. Also hier kommen die ersten Komponenten der beiden

Faktoren, die gekreuzt werden, nicht vor. Und so geht es weiter. In der zweiten Komponente steht

minus a1 b3 plus a3 b1. Und in der dritten Komponente des Kreuzproduktes steht a1 b2 minus a2 b1. Das

Kreuzprodukt gibt es nur im R hoch drei. Und das kann man auch anders ausdrücken mit Hilfe einer

Basis. Aber für uns ist hier wesentlich, dass das Kreuzprodukt auch verwendet wird, um die Rotation

eines Vektorfeldes zu definieren. Und zwar setzt man dann für den ersten Vektor a diesen NABLA-Vektor

ein. Also mit d nach dx, d nach dy und d nach dz. Also das ist NABLA Kreuz Vektorfeld. So ist die

Rotation definiert. Definition, Rotation. Es seien die Menge d im R hoch drei offen und g

von d auch wieder in den R hoch drei ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Wir brauchen dann natürlich wieder die drei Komponenten von g. Die nennen wir g1, g2 und g3.

Mit g gleich g1, g2, g3 heißt dann folgendes Vektorfeld die Rotation von g. Die Abkürzung

für Rotation ist rot. Sie kennen ja schon den Gradienten, den kürzen wir mit grad ab,

die Divergenz mit div und die Rotation eben mit rot. Also Rotation von g an einer Stelle x ist

folgendermaßen definiert. In der ersten Komponente steht d g3 nach dy minus d g2 nach dz. In der zweiten

Komponente steht d g1 nach dz minus d g3 nach dx. Und die dritte Komponente der Rotation ist d g2

nach dx abgeleitet minus d g1 partiell nach y abgeleitet. Man kann also aus den partiellen

Ableitungen die Rotation des Vektorfeldes schnell ausrechnen. Man muss nur die richtigen partiellen

Ableitungen mit den richtigen Vorzeichen verknüpfen. Diese Definition

funktioniert jetzt nur im R hoch 3. Das ist anders als bei der Divergenz. Die Divergenz hatten wir

ja ganz allgemein im R hoch N definiert. Die Rotation finden wir nur im R hoch 3,

weil sie über dieses Kreuzprodukt definiert ist. Bemerkung die Rotation ist nur für N gleich 3

definiert. Aus dem gegebenen Vektorfeld g erhält man durch die Rotation ein neues Vektorfeld.

Also die Rotation von g ist dann wieder ein Vektorfeld im R hoch 3. Mit dem NABLA-Operator

das ist dieser Vektor, in dem die partiellen Ableitungen als Operatoren drinstehen, also d

nach dx in der ersten Komponente, d nach dy in der zweiten Komponente und d nach dz in der

dritten Komponente. Mit dem NABLA-Operator schreibt man die Rotation von g ist gleich NABLA Kreuz g.

Und so kann man sich das auch ganz gut merken, ansonsten ist ja die Definition nicht sehr handlich.

Aber das Kreuzprodukt kennen Sie ja und damit mit dieser Schreibweise können Sie die Rotation auf

das Kreuzprodukt zurückführen. Wenn Sie jetzt ein Potentialfeld haben, dann ist das g ja selbst

schon als Gradient des Potentials V gegeben und dann folgt daraus, dass die Rotation Null ist. Für

Potentialfelder haben wir ja g ist selbst der Gradient des Potentials Phi und dann gilt für

die Rotation von g, das ist die Rotation des Gradienten von Phi und mit dem NABLA-Operator