Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Willkommen wieder zur Mathematik. Wir haben ja in der letzten Vorlesung diesen Hauptsatz der

Differential- und Integralrechnungen gesehen. Da wird ein Zusammenhang zwischen dem Differenzieren

und dem Integrieren hergestellt durch den Begriff der Stammfunktion.

Dieser Satz gilt für stetige Funktionen. F sei stetig oder formal geschrieben F

Element C, A, B. Das ist der Raum der auf dem Intervall von A bis B stetigen

Funktionen. Dann kann man das Integral von A bis B, F von x dx schreiben in der Form

Groß F von B minus Groß F von A. Und dafür gibt es auch eine abkürzende

Schreibweise, nämlich F von x und dann so einen Strich und dann kann man die

Grenzen hinschreiben x gleich A bis B. Also man wertet das große F an den

Rändern aus und damit das funktioniert muss das große F irgendwas mit dem

kleinen F, dem Integranten, zu tun haben und der Zusammenhang funktioniert über

die Ableitung. Also das große F ist hier differenzierbar und die Ableitung Groß

F Strich ist gerade das kleine F. Also das F ist dann eine sogenannte

Stammfunktion. Groß F Strich von x ist klein, F von x. Also wenn man das große F

ableitet, kommt das kleine F heraus und wenn man das kleine F dann integriert,

kann man das Ergebnis wieder mit dem großen F ausrechnen. In dem Sinne sind

die so irgendwie in einem weiteren Sinne invers zueinander und in dieser Situation

nennt man das große F eine Stammfunktion von dem kleinen F. Also das große F

heißt dann eine Stammfunktion

von klein F. Das kleine F stammt dann sozusagen von dem großen F ab im Sinne,

wenn man die Ableitung so als Nachkommen betrachtet. Und dieser Satz der gilt, wenn

die Funktion klein F, wenn der Integrant stetig ist. Der Integrant muss aber

eigentlich nur integrierbar sein. Wir haben ja die Riemann integrierbaren

Funktionen definiert und die müssen nicht unbedingt stetig sein. Aber so eine

Stammfunktion findet man leider nicht immer, nicht für jede integrierbare

Funktion. Also eine wichtige Bemerkung, nicht jede integrierbare Funktion

besitzt eine Stammfunktion.

Und das kann man sehr leicht an einem Beispiel sehen. Wir nehmen eine Funktion

klein F von x, die Stückweise konstant ist. Das kleine F von x ist Null, wenn das

x negativ ist. Also wenn das x zwischen minus 1 und Null ist, sagen wir mal,

dann hat die Funktion den Wert Null und danach hat sie den Wert 1. Also wenn das

x größer Null ist. Genauer gesagt integrieren wir gleich von dem von minus 1

bis 1, also auf dem Intervall von minus 1, 1. Und dann erhalten wir als H von x,

definiert als das Integral von minus 1 bis x, F von t dt. Also das müsste

eigentlich eine Stammfunktion sein, wenn es denn eine Stammfunktion geben würde.

Das hängt von der oberen Grenze ab. Wenn die obere Grenze x jetzt kleiner als Null

ist, dann integrieren wir nur über den Bereich, wo die Funktion sowieso den

Wert Null hat. Und wenn man die Null aufintegriert, kommt immer Null heraus.

Also das ist für x kleiner gleich Null. Und von der Null an muss man dann die 1

integrieren. Und wenn man dann von Null bis x die 1 integriert, kommt einfach x

heraus, also das x größer Null ist. Und diese Funktion hat ja so einen Knick, also

wenn man die sich aufmalt, dann sieht die so aus. Die läuft erst auf der Null

entlang und danach schräg nach oben.

Und hier ist dann dieser Knick und die Funktion, die man integriert, die sieht

so aus. Die ist also hier Null und dann da 1. Also die ist ja recht einfach, aber

dadurch, dass dieser Integrant einen Sprung hat, kriegt man hier keine

Stammfunktion hin. Die Stammfunktion hat ja hier im Nullpunkt nur einseitige

Ableitungen. Die linkseitige Ableitung ist Null und die rechtseitige Ableitung ist

Eins. Aber durch den Knick ist die Funktion eben nicht differenzierbar. Und