Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wenn die Differential-Dreiecke eine besondere Struktur hat, eine spezielle Struktur,

dann kriegt es nämlich Möglichkeiten, die explizit analytisch zu lösen.

Zumindest gewinnt man eine implizite Lösung, in der keine Ableitung von Strichen mehr vorkommt.

Dazu muss man allerdings immer irgendwelche Stammfunktionen bestimmen.

Also das Problem, die Differential-Dreiecke zu lösen, wird dann zurückgeführt auf das Problem, Stammfunktionen zu bestimmen.

Und dadurch gewinnt man einen Blick in die Phänomene, die da auftreten können.

Wir diskutieren hier Lösungsmethoden, analytische Lösungsmethoden,

für sieben Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Eine beliebige Differentialgleichung ist ein vorgegebenen Anfangswert.

Also ein Anfangswertproblem kann man immer nur lärisch beweisen, also die Lösung lärisch abproximieren,

indem man entsprechende Diskriminierungsverfahren anwendet, aber darum geht es jetzt im Moment nicht.

Die erste Möglichkeit ist die Trennung der Variablen.

Das ist unsere erste Lösungsmethode.

Das wird häufig abgekürzt mit groß t, klein d, groß v, also t, d, v.

In dieser Differentialgleichung taucht ja y' auf, sagen wir auf der linken Seite,

und y' dieser Ableitung ist als Funktion von y und x gegeben.

Und wenn es jetzt so ist, dass man die y's alle auf die linke Seite bringen kann,

und zwar so, dass y' ein Faktor ist, dann kann man durch Integration auf der linken und der rechten Seite

diese gewöhnliche Differentialgleichung lösen. Die muss dafür also eine spezielle Form haben,

damit das möglich ist. Eine Differentialgleichung der Form y' von x ist ein Produkt aus einer Funktion f,

die nur von x abhängt, und einer Funktion g, wo die Werte y' von x vorkommen,

heißt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Bei der Differentialgleichung sucht man ja eigentlich eine Funktion y' von x,

aber wenn man das hinschreibt, kann man ja bei dem y auch das x weglassen,

dann steht da nur noch y' gleich f von x mal g von y, und dann kann man das y als Variable auffassen.

Getrennte Variablen heißt jetzt, dass man durch g von y dividiert, dann steht auf der linken Seite y' durch g von y,

und auf der rechten Seite steht f von x. Also auf der linken Seite stehen die y's und auf der rechten Seite die x.

Also in dieser Art ist der Begriff Trennung der Variablen zu verstehen.

Damit das überhaupt funktioniert, muss das g von y ungleich 0 sein, sonst kann man ja nicht durch g von y dividieren.

Deshalb untersuchen wir erst die Nullstellen von g, also wenn es irgendeine Zahl a gibt,

sodass g an der Stelle a verschwindet, dann verschwindet ja auch die ganze rechte Seite, wenn y gleich a ist,

und für eine konstante Funktion ist die Ableitung ja auch 0.

Also wenn man Nullstellen von g hat, dann liefern diese Nullstellen konstante Lösungen der Differentialgleichung.

Konstante Lösungen sind also immer ganz wichtig. Für konstante Lösungen ist die linke Seite y' dann natürlich 0,

und entsprechend muss die rechte Seite auch verschwinden.

Ist also die Zahl a in R eine Nullstelle von g,

so ist die konstante Funktion y von x ist gleich a eine Lösung der Differentialgleichung.

Also diese Differentialgleichung heißt Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

In

In diesem Produkt sind die Variablen getrennt, also in dem einen Faktor stecken die xe und in dem anderen Faktor stecken die ys.

Die konstanten Lösungen bekommt man durch die Nullstellen des einen Faktors, des Faktors g, der von y abhängt,

aber was ist jetzt mit nicht konstanten Lösungen?

Für die nicht konstanten Lösungen muss man durch g von y dividieren und so die ys auf die linke Seite bringen, das heißt die Variablen trennen.

Dazu setzt man voraus g von y ungleich 0.

Unter der Voraussetzung g von y ungleich 0 erhält man durch Division die Gleichung 1 dividiert durch g an der Stelle y von x mal y Strich von x ist gleich f von x.

Und wenn die beiden Funktionen übereinstimmen müssen auch die Integrale übereinstimmen und deshalb integriert man jetzt auf beiden Seiten, also links und rechts nach x.

Man bildet Stammfunktionen und erhält das Integral von 1 dividiert durch g von y von x mal y Strich von x dx ist also gleich dem Integral von f von x dx.

Und hier kann man etwas lösen, weil das Integral auf der linken Seite eine besondere Struktur hat, das y Strich tritt ja hier als Faktor auf.

Und deshalb kann man die Substitutionsregel anwenden.