Schönen guten Tag meine Damen und Herren. Wir haben beim letzten Mal aufgehört mit der

Diskussion der Formfunktion, also der Ansatzfunktion, die wir für ein finites Element verwenden wollen

und hatten am Beispiel des einfachen zwei Knotenstabes und hier die linearen Ansatzfunktion,

also ich habe zwei Knoten, zwischen denen kann ich halt linear interpolieren, jeweils hergeleitet,

also mit dieser normierten Achse, die zwischen minus eins bis plus eins läuft. Für die Elementlänge

bekomme ich dann diese beiden Formfunktionen h1 und h2 als ein halb eins plus r und ein halb eins minus

r. Wenn ich höher interpolieren möchte, also mit einem höheren Polynomengrad, dann brauche ich

mehr Freiwerte, also sozusagen mehr Größen als Stützstellen, das heißt ich brauche mehr Knoten

im Element und für jede Stufe im Polynomengrad halt ein Knoten mehr, sodass ich wenn ich zum

Beispiel einen quadratischen Ansatz haben möchte, ich drei Knoten im Element haben muss, mit der

halbwegs gängigen Knotennummer, dass ich die beiden Randknoten eins und zwei benenne und den

zusätzlichen Mittelknoten mein wegen drei. Und dann kann man entsprechende Formfunktionen

konstruieren, die halt Terme bis r² enthalten, in dem h3 und dann entsprechende Terme in dem h1 und

h2. Das könnte ich beliebig weiter treiben, also Polynomengrad 3, 4, 5, 6 und so weiter, mit

entsprechend vielen Knoten. Das wird in der Praxis normalerweise aber nicht gemacht, typischerweise

hört man halt bei quadratischen Ansätzen auf. Wenn ich mehrdimensionale Elemente habe, also 2d oder

3d Elemente, das heißt eine Scheibe oder ein Volumenelement, dann muss ich natürlich nicht

nur in einer Richtung interpolieren, sondern in zwei oder drei Richtungen und die einfachste

Methode, entsprechende Formfunktion, Ansatzfunktion zu generieren ist, die 1d Formfunktion einfach in

den Raumrichtungen miteinander zu multiplizieren. Das heißt, ich habe eine r- und eine s-Richtung

hier in 2d und bekomme entsprechende Ansatzfunktion, indem ich die 1d Formfunktion hier ein halb

1 plus r und ein halb 1 minus r halt genauso in s-Richtung verwende, also ein halb 1 plus s und ein

halb 1 minus s und dann durch Multiplikation mir diese linken Ansatzfunktion da generieren. Und das

gleiche kann ich auch mit den höherwertigen machen, das heißt, ich könnte die quadratischen Funktionen

miteinander multiplizieren in r und s, beziehungsweise auch in t-Richtung, wenn ich das

dreidimensional haben möchte. Theoretisch könnte ich in r- und s-Richtung unterschiedliche Ansätze

verwenden, das werden wir gleich sehen, da gibt es einen Fall, wo man sowas macht, man könnte das

ganz allgemein machen, ich könnte also zwei Knoten in r-Richtung verwenden und da einen bilinearen

Ansatz und in der s-Richtung einen höherwertigen Ansatz, also mehr Knoten in die andere Richtung,

damit ist das Element aber nicht mehr symmetrisch bezüglich r und s, das heißt, ich hätte dann

Element, das hätte in r-Richtung meinetwegen nur die beiden Knoten an den Ecken und in der

anderen Richtung mehr Knoten auch noch entlang der Kante. Das sind theoretisch mögliche, sehr

spezielle Elemente, die in der Praxis nicht vorkommen. Also kein kommerzielles Programmpaket

bietet so etwas an, sowas könnte man, wenn man das aus irgendeinem Grund braucht, selber

programmieren, das geht, ist aber dann extrem eingeschränkt in der Nutzbarkeit dieser Elemente,

deshalb vermeidet man das typischerweise, also habe ich sozusagen immer Elemente, die ich drehen kann

sozusagen um 90 Grad und dann immer gleich aussehen, das hat dann deutliche Vorteile auch

im Handling der Elemente. Die entsprechende Formfunktion bilinear würden so aussehen und

biquadratisch zum Beispiel in dieser Form. Gut, wenn man sich jetzt das anschaut, dann gibt es

insbesondere hier bei den biquadratischen, dann sieht man, wenn man sich die neun möglichen

Formfunktionen anguckt hier, die letzte Formfunktion h9, die nur von der Größe des Elementmittenknotens

abhängt, ja eine sogenannte Bubble Function, weil es so eine Blase bildet, die ist auf dem Rand

überall null, das heißt die tritt nach außen gar nicht in Erscheinung, also sie ist nicht gekoppelt

an irgendwelche anderen Nachbarelemente und jetzt ist die Überlegung sich eventuell diese inneren

Knoten zu sparen und das führt auf die Idee der sogenannten Serentipity Elemente. Eine

weitere Klasse von Elementen, die ich bekomme durch sozusagen Vereinfachung dieser Lagrange Elemente,

die Lagrange Elemente sind die Elemente, die ich einfach durch Stures multiplizieren der 1D

Formfunktion in die Raumrichtung bekomme, kann ich durch geschicktes Weglassen bestimmter Knoten

eine Vereinfachung, eine Reduktion der Knoten und damit eine Reduktion der Unbekannten bekommen und

das führt dann auf die Klasse der sogenannten Serentipity Elemente. Dieser eigenartige Name