Wir fahren fort mit weiteren Konvergenz- und Divergenzkriterien für Reihen und die

nächsten beiden, die wir uns anschauen, sind das Vorsekretär und das Quotientenkriterium.

Und das sind Kriterien, die man sehr leicht numerisch anwenden kann, also für die

gegebenen Reihen kann man die ganz schnell ausprobieren, ob es funktioniert.

Sind sehr einfach anzuwenden, weil man keine Vergleichsreihe raten muss, die jetzt vielleicht

funktionieren könnte, wie bei Minoratenkriterien und bei Majoratenkriterien.

Und sind einfach anzuwenden, aber funktionieren nicht immer.

Dahinter liegt eigentlich nur das Majoratenkriterium und die Tatsache,

dass die geometrische Reihe konvergiert, aber in einer sehr automatisierten Art und Weise,

die man sehr leicht anwenden kann.

Also die beiden Kriterien, das Vorsekretär und das Quotientenkriterium, die funktionieren

eigentlich so, dass man ohne es zu merken die Reihe eigentlich mit einer geometrischen

Reihe vergleicht und schaut, ob es jetzt eine konvergente oder divergente geometrische

Reihe ist, je nachdem, ob jetzt dieses Q, das immer potenziert wird, betraglich kleiner

oder größer als es ist.

Fangen wir an mit dem Vorsekretär.

Wir haben eine Reihe von dieser Art, also wir summieren ak von k-gleich-0 bis unendlich

und das Vorsekretärium sagt uns, dass diese Reihe absolut konvergent ist, wenn wir eine

Zahl Q, die echt größer als 0 und echt kleiner als 1 ist, also echt größer als 0 ist natürlich

unnötig, wenn wir zeigen könnten, das wäre für Q-gleich-0 der Fall, dann wäre es die

0-Reihe, aber Q muss echt kleiner als 1 sein, also nicht gleich 1.

Und ein n-0 existiert, sodass die n-te Wurzel von dem Betrag von an kleiner als Q ist für

alle n größer als n-0.

Und die Negativaussage zum Vorsekretärium, die uns divergent zeigt, ist die, dass diese

Reihe divergent ist, wenn sowas nicht gefunden werden kann, also wenn es ein n-0 gibt, sodass

für alle n größer als n-0 die n-te Wurzel aus Betrag an größer als 1 ist.

Warum funktioniert das?

Wir fangen mal an mit dem Konvergenzresultat hier, das wird aus Majorant-Getärium zurückgeführt

und zwar schaut man sich jetzt diese Bedingung an, n-te Wurzel aus Betrag an kleiner als

Q, das bedeutet, der Betrag von an ist kleiner als Q hoch n, das bedeutet, Summe, die n-te

Wurzel an von n gleich 0 bis unendlich ist also kleiner gleich n gleich 0 bis unendlich

von Q hoch n und da wissen wir, das ist nicht unendlich, das konvergiert, für Q kleiner

als 1.

Das ist also das Majorant-Getärium eigentlich, was wir hier anwenden und das geht, indem

wir uns einfach die n-te Wurzel von Betrag an anschauen und schauen, ob wir die gegen

ein Q abschätzen können, was echt kleiner als 1 ist.

Das Divergenzkriterium zeigt man ähnlich, hier kann man das Divergenzkriterium nutzen,

das Divergenzkriterium, unsere Erinnerung ist das, wenn die Folge, die in der Reihe

drin steht, keine Nullfolge ist, dann kann die Reihe nicht konvergänzt sein.

Wenn also die n-te Wurzel aus Betrag an größer als 1 ist, ist Falle n größer als

0, dann folgt daraus schon, dass an größer als 1 ist, also kann das keine Nullfolge sein

und dann ist auch die Reihe nach dem Divergenzkriterium divergent.

Jetzt eine sehr wichtige Bemerkung, es ist nicht ausreichend, dass man nur zeigt n-te

Wurzel aus Betrag an n als kleiner als 1, sondern es muss kleiner als Q sein und Q

muss kleiner als 1 sein.

Wir sehen gleich ein Gegenbeispiel dazu, wo das einen großen Unterschied macht.

Es gibt eine zweite Version, die ein bisschen stärker ist, weil die Sachen, die man nachprüfen

muss, ein bisschen leichter sind.

Nämlich diese Reihe ist absolut konvergent, wenn wir brauchen jetzt nicht, dass die n-te

Wurzel aus Betrag an n für alle n größer als 0 kleiner als Q ist, sondern es reicht,