Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, also, so, wenn wir genauer sehen, könnten wir schon ein bisschen anders hier weglassen.

Also F4 haben wir irgendwie da x² bekommen. Super, F5 gleich x. Super.

Und jetzt haben wir Tonnen von kritischen Paaren.

Genau. Und jetzt können wir aufhören, weil wir haben es, wir könnten das

bei Hand rechnen, also ihr könnt das bei Hand rechnen. Und zwar insgesamt 15 Paare.

Drei habt ihr schon gerechnet. Und da wir aber hier x haben, da wir da y haben,

und da ja keine konstanten Terme vorkommen, wird x und y das immer zu Null reduzieren.

Also die beiden reduzieren das immer zu Null und wir sind fertig.

Okay, wir haben also jetzt fünf Polynome und die erzeugen das Ideal und tatsächlich,

also F1 bis F5 bildende Gründerbasis und F3, F5, also x, y reichen bereits.

Also die anderen kann man wegwerfen, also Moment, man kann sich anschauen,

die anderen kann man weglöschen, weil sie, ja was ist der Grund warum ich die anderen weg tun kann?

Die werden alle von x und y erzeugt, das ist schon mal ein Grund. Das heißt,

das Ideal ist erstmal nicht kleiner geworden. Das brauchen wir in dem Fall nicht. Also wir können

die wegwerfen bei x und y und die anderen erzeugen und damit sind es redundante Erzeuger des Ideals,

kann man die anderen weglassen. Aber auch das Light-Term-Ideal hat sich nicht geändert.

Also das Ideal bleibt gleich und das die Ideal.

Also wenn das Ideal, was von den drei erzeugt wird, i ist, dann haben wir gerade rausgefunden,

dass das Light-Term-Ideal, das wird erzeugt durch die Light-Term von denen, nämlich durch y²,

durch y, durch y, durch x² und durch x. Ja, bei dem kann man drei rauswerfen.

Also dieses Light-Term-Ideal wird praktisch nicht durch die fünf, sondern schon durch die zwei erzeugt

und es brauchen wir jetzt nur passende Polynome raussuchen, zum Beispiel f5 gleich x, f3 gleich y.

Wir könnten aber auch f5 gleich x und f2 gleich y plus x nehmen, würde auch eine

Kröpner-Basis mit zwei Polynomen ergeben. Der Algorithmus wird terminiert. Der hat ja gerade

terminiert hier mit fünf, nur dass wir nachträglich noch einige rauswerfen können.

Von diesen insgesamt 15 kritischen Paaren, die du hier anschauen müsstest, kannst du

das ausrechnen. Du weißt aber, da kommt kein konstanter Term vor, das heißt also alle Termen,

die da auftreten, sind vielfaches von x oder von y oder halt von beiden und damit reduzieren die bezüglich

dieser beiden Polynome x bzw. y zu 0. Das kannst du natürlich gerne per Hand durchrechnen, aber

in Polynomform ist nichts anderes als Polynomdivision von diesen Polynomen durch die

Menge von Polynomen. Also wir sehen, der Algorithmus produziert Elemente, die wir vielleicht gar nicht

brauchen. Hier hat er zum Beispiel x² produziert, was wir zum Schluss gar nicht gebraucht haben.

Das ist also eine Möglichkeit, wie wir den Algorithmus verbessern können. Wir könnten solche

Elemente, wenn wir dann das x später haben, könnten wir sagen, wir werfen das wieder raus,

weil es ein Vielfacher ist. Wir könnten so eine sogenannte Autoreduktion machen, wo das System

gegen sich selbst verkleinert wird. Ich nehme den hier und dividiere den durch die anderen vier

Polynome. Wenn der Null rauskommt oder was kleineres rauskommt, dann habe ich mein System

quasi vereinfacht. Insbesondere wird der Leitterm hier kleiner und ich könnte vielleicht einen

Leitterm kriegen, den ich noch nicht gesehen habe. Allein durch diese Aktion kann ich schon besser

werden, aber es ist enorm aufwendig, kostet viel Zeit. Dann ist es dann irgendwie so ein Trade-off,

wo es sich lohnt, eine Autoreduktion zu machen oder einfach weiterzurechnen.

Da gibt es noch einen Haken dabei. Nehme an, du hast schon F1, F2, dieses S-Polynomen gecheckt.

Das war der Null oder ist da etwas Neues rausgekommen? Egal. Jetzt reduzierst du F1 bezüglich

der anderen. Da entsteht ja prinzipiell ein neues Polynom und mit dem musst du noch mal neue

kritische Paare anfangen. Deine Liste C könnte fast leer sein und durch diese Autoreduktion hast du

wieder aufgefüllt. Würde also nur was bringen, wenn tatsächlich Null rauskäme, dann wäre das gut.

Oder es würde was bleiben, steht möglichst klein Leitterm, steht möglichst klein Leitterm hat,

dass es dann später richtig zuschlägt und zu Null reduziert. Und ein weiterer Nachteil,

der auftreten kann, gerade bei diesen multivariaten Polynomen, ist, dass durch