Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Morgen zusammen. Wir hatten letztes Mal angefangen und so einen ganz, ganz geringen

Überblick über gewöhnliche Differenzalkleichungen im Wesentlichen anhand von Beispielen zu

verschaffen und zwar genauer über Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differenzalkleichungen.

Das möchte ich jetzt abschließen, indem wir ein minimales Element aus der Theorie uns

da anschauen und dann sozusagen uns der zweiten Klasse von Aufgabenstellungen zuwenden, nämlich

Randwertaufgaben für gewöhnliche Differenzalkleichungen. Wenn wir dann den Gegenstand der Vorlesung

oder dieses ersten Teils der Vorlesung etwas kennengelernt haben, dann sind wir hoffentlich

soweit uns auch um Verfahren zur Näherungsweise und Berechnung von Lösungen zu kümmern. Also

wir hatten schon an unseren Beispielen gesehen, im Wesentlichen durch Ausrechnen von Lösungen,

ja es gibt Lösungen, inwieweit diese eindeutig sind, haben wir im Moment noch kein Instrument

an der Hand, das zu beurteilen. Wir können wie auch immer uns eine Lösung vom Himmel fallen

lassen, eine Funktion, dann ist es leicht zu überprüfen, ob es eine Lösung ist. Wir müssen

einfach die Differenzalkleichung überprüfen, wir müssen die Randbedingungen überprüfen,

wir wissen aber nicht, ob es nicht noch weitere gibt. Und wir haben an einem Beispiel gesehen,

dass es durchaus sein kann, zum einen, dass es mehrere Lösungen gibt, das war dieses

Beispiel mit der Wurzelfunktion auf der rechten Seite, y Punkt gleich Wurzel aus y, für den

Anfangswert gleich Null. Und wir haben auch gesehen, dass es Beispiele gibt, das war das

Beispiel y Punkt gleich y Quadrat mit positiven Anfangswert, wo die Lösung zwar existiert,

aber nur auf einem endlichen Zeitintervall existiert. Gut, jetzt schauen wir uns mal

den allgemeinen Satz an, der uns eine gewisse Grundlage gibt und auch zeigt, dass auf diesem

sehr groben Betrachtungsraster gewöhnliche Differenzalkleichungen alle irgendwie ähnlich

sind, tatsächlich sind sie es nicht, aber sie sind sich ähnlicher als das bei partiellen

Differenzalkleichungen ist, wo letztlich jede Gleichung eine Welt für sich ist. Also, was

ist nochmal die Situation? Wir haben eine rechte Seite gegeben auf einem Zeitintervall

t Null groß t. Wir schauen uns ein System an mit m Komponenten, das heißt also diese

rechte Seite hat dann hier weitere m Variablen, bildet in den Rm ab. Wir gehen immer im Wesentlichen

davon aus, dass diese rechte Seite stetig ist als Minimalforaussetzung. Wie gesagt, es

gibt durchaus auch technische Anwendungen, wo das nicht der Fall ist, aber da muss man

etwas dann auch was den Lösungsbegriff betrifft genauer zu Werke gehen. Wir suchen eine Lösung

der durch das F gegebenen Differenzalkleichung erster Ordnung, des Systems erster Ordnung,

das heißt eine Funktion y auf dem betreffenden Zeitintervall, also besprechen diese Variablen

immer als Zeit an in den Rm, so dass y Punkt, das heißt komponentenweise genommen die Ableitung

gleich f von t y von t ist und zwar eben punktweise auf dem gesamten offenen Intervall. Zusätzlich

soll die Anfangsbedingung yt Null gleich y Null erfüllt sein, das macht nur dann Sinn,

wenn man sagt, dass y mindestens stetig bis in den Punkt t Null hinein ist. Man kann

auch sagen als Forderung an die Lösung, dass y sogar auf den bis in den Punkt t Null hinein

stetig differenzierbar sein soll, denn wenn wir das F als stetig voraussetzen, dann haben

wir hier und das y eine stetige Funktion ist bis in den Punkt t Null hinein steht hier

auch eine durch Komposition eine bis in den Punkt t Null hinein stetige Funktion, damit

gilt das dann auch für die Ableitung. Also das hatten wir auch schon angesprochen, dass

sozusagen Glattheit von F immer recht direkt entsprechende Glattheit der Lösung nach sich

zieht. Gut, so was kann man jetzt sagen über die Existenz einer Lösung? Das ist der Satz

von P. K. Lindelöf, der setzt voraus, dass die rechte Seite F stetig ist auf einem abgeschlossenen,

wenn man so will einem Quadrat, einer abgeschlossenen Teilmenge des Rm plus 1, zum einen durch ein

Quadratintervall von t Null ausgehen bis zu einer Stelle t M und hier haben wir eine Kugel,

eine Normkugel um y Null herum. Welche Norm wir hier auf dem Rm zugrunde liegen ist letztlich

irrelevant. Wir wissen ja auf dem Rm, wie auf jedem endlich dimensionalen Raum, sind

alle Normen äquivalent. Sie können sich also hier natürlich die euklidische Norm vorstellen

oder auch die Maximumsnorm, was auch immer. Das macht sich nur, da das M, das Klein-M,